🎯Из жизниЧисло бактерий в колонии удваивается каждый час: $N=N_0\cdot2^{t}$. Чтобы узнать, через сколько часов колония достигнет заданной численности $N$, нужно решить уравнение $2^{t}=N/N_0$ — простейшее показательное уравнение относительно $t$.
Определение
🔑Простейшее показательное уравнениеУравнение вида $a^{x}=b$, где $a\gt0$, $a\ne1$, $b$ — данное действительное число, называют простейшим показательным уравнением.
Так как $a^{x_0}\gt0$ при любом $x_0$, поведение уравнения полностью зависит от знака $b$:
если $b\le0$ — уравнение не имеет корней (степень с любым показателем положительна, а $b$ — нет);
если $b\gt0$ — уравнение имеет единственный корень $x_0=\log_a b$.
Удобный приём
Если удаётся представить правую часть как степень того же основания, $b=a^{\alpha}$, уравнение $a^{x}=a^{\alpha}$ сразу даёт корень — показатели равны:
$$x_0=\alpha$$
Пример. $\left(\dfrac12\right)^{x}=2$. Так как $2=\left(\dfrac12\right)^{-1}$, получаем $x_0=-1$.
Пример посложнее
$5^{x+2}-2\cdot5^{x}-3\cdot5^{x+1}=200$. Вынесем $5^{x}$ за скобки: $5^{x+2}=5^{x}\cdot25$, $5^{x+1}=5^{x}\cdot5$:
⚠️Частая ошибкаУвидев $25^{x}=-25$, ученики иногда пытаются «логарифмировать» правую часть. Но $\log_a b$ определён только для $b\gt0$ — раз правая часть отрицательна, корней нет вообще, никакого логарифмирования не требуется.
Запомни
🧠$a^{x}=b$ ($a\gt0,\ a\ne1$)
$b\le0$ — корней нет;
$b\gt0$ — единственный корень $x_0=\log_a b$;
если $b=a^{\alpha}$, то сразу $x_0=\alpha$ — без логарифма.