🎯Из жизниУровень громкости в децибелах связан с интенсивностью звука через логарифм. Если известно, что громкость равна $b$ децибел, а формула даёт уравнение вида $\log_a x=b$ относительно интенсивности $x$ — это и есть простейшее логарифмическое уравнение, только «наоборот» к показательному.
Определение
🔑Простейшее логарифмическое уравнениеУравнение вида $\log_a x=b$, где $a\gt0$, $a\ne1$, $b$ — данное действительное число, называют простейшим логарифмическим уравнением.
По определению логарифма такое уравнение всегда имеет единственный корень — и, в отличие от показательного уравнения, никаких ограничений на $b$ нет: $b$ может быть любым действительным числом.
$$x_0=a^{b}$$
Пример
Пример. $\log_3 x=-2$. По формуле $x_0=a^{b}$:
$$x_0=3^{-2}=\frac19$$
Удобный приём, как и для показательных уравнений: если правую часть удаётся записать как $\log_a\alpha$, то уравнение $\log_a x=\log_a\alpha$ сразу даёт $x_0=\alpha$.
Приведение к одному основанию
Если в уравнении встречаются логарифмы по разным основаниям, их приводят к одному через формулу перехода. Пример. $5\log_{16}x-3\log_4x+\log_2x=-3$.
Так как $16=2^4$ и $4=2^2$, то $\log_{16}x=\tfrac14\log_2x$, $\log_4x=\tfrac12\log_2x$. Подставляем:
⚠️Частая ошибкаНе путай область определения: у показательного уравнения $a^{x}=b$ ограничение — на $b$ (корней нет при $b\le0$), а у логарифмического $\log_a x=b$ ограничение — на $x$ (подкоренное выражение под логарифмом должно быть положительным). Для простейшего уравнения $x_0=a^b\gt0$ всегда, поэтому корень существует при любом $b$.
Запомни
🧠$\log_a x=b$ ($a\gt0,\ a\ne1$)
единственный корень при любом $b$: $x_0=a^{b}$;
если $b=\log_a\alpha$, то сразу $x_0=\alpha$;
логарифмы по разным основаниям приводят к одному через формулу перехода.