10 класс · Корни, степени, логарифмы
Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного
ИдеяМногие уравнения с показателями и логарифмами выглядят сложно, но на самом деле — это квадратное (или другое простое) уравнение, «замаскированное» под $2^{x}$ или $\lg x$. Стоит обозначить повторяющееся выражение буквой $t$ — и сложное уравнение превращается в знакомое.
Алгоритм замены
Три шага
- Обозначить повторяющееся выражение через $t$ (например, $t=2^{x}$ или $t=\lg x$);
- Решить получившееся уравнение относительно $t$ — обычно оно квадратное или рациональное;
- Вернуться к $x$: для каждого найденного $t$ решить простейшее уравнение $2^{x}=t$ (или $\lg x=t$).
Пример со степенями
$4^{x}-3\cdot2^{x}+2=0$. Так как $4^x=(2^x)^2$, делаем замену $t=2^{x}$:
$$t^{2}-3t+2=0 \;\Rightarrow\; t_1=1,\quad t_2=2$$Возвращаемся к $x$: $2^{x}=1 \Rightarrow x=0$; $\;2^{x}=2 \Rightarrow x=1$. Смотри на графике, как каждый корень $t$ превращается в корень $x$.
Пример с логарифмами
$\lg^{2}x-\lg x-12=0$. Замена $t=\lg x$ даёт квадратное уравнение $t^{2}-t-12=0$ с корнями $t=-3$ и $t=4$. Возвращаемся к $x$:
$$x=10^{-3}=0{,}001 \quad \text{или} \quad x=10^{4}=10000$$Похожая идея работает и когда степени разных оснований связаны отношением: в $6\cdot9^{x}-13\cdot6^{x}+6\cdot4^{x}=0$ делим на $4^{x}$ и вводим $t=(3/2)^{x}$ — получаем $6t^{2}-13t+6=0$ с корнями $t=2/3$ и $t=3/2$, откуда $x=-1$ или $x=1$.
Частая ошибкаЕсли замена $t=a^{x}$ (показательная), корень $t\le0$ нужно отбросить сразу — он не может дать решения по $x$, так как $a^{x}\gt0$ всегда. А если замена $t=\log_a x$ (логарифмическая) — ограничений на знак $t$ нет, отбрасывать корни по знаку $t$ здесь нельзя. Не перепутай эти два случая.
Запомни
Замена неизвестного
- ищем повторяющееся выражение и обозначаем его $t$;
- решаем уравнение относительно $t$ (обычно квадратное);
- для $t=a^{x}$ — отбрасываем неположительные корни $t$ до возврата к $x$;
- каждый допустимый корень $t$ даёт своё простейшее уравнение относительно $x$.