10 класс · Корни, степени, логарифмы

Простейшие показательные неравенства

          🎯
          Из жизниВклад растёт по формуле $S=S_0\cdot(1{,}05)^{t}$. Вопрос «через сколько лет вклад превысит удвоенную сумму» — это уже не уравнение, а неравенство $(1{,}05)^{t}\gt 2$: нужен не один момент времени, а целый промежуток.
        

Определение

🔑 Простейшее показательное неравенствоНеравенства $a^{x}\gt b$ и $a^{x} \lt b$ ($a\gt 0$, $a\ne1$) называют простейшими показательными неравенствами.

Так как $a^{x_0}\gt 0$ при любом $x_0$: если $b\le0$, неравенство $a^{x}\gt b$ верно для всех $x$, а $a^{x} \lt b$ не имеет решений. Интересный случай — когда $b\gt 0$: тогда неравенство переписывают как $a^x \lessgtr a^{x_0}$, где $x_0=\log_ab$, и решение зависит от того, возрастает или убывает $a^x$.

Монотонность решает всё

При $a\gt 1$ функция $a^x$ возрастает: $a^{x}\gt a^{x_0}$ равносильно $x\gt x_0$, а $a^{x} \lt a^{x_0}$ — $x \lt x_0$.

При $0 \lt a \lt 1$ функция $a^x$ убывает — знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный: $a^{x}\gt a^{x_0}$ равносильно $x \lt x_0$, а $a^{x} \lt a^{x_0}$ — $x\gt x_0$.

Примеры

Пример. $2^{x} \lt 8=2^{3}$: так как $2\gt 1$ (возрастание), $x \lt 3$. Ответ: $(-\infty;3)$.

Пример. $\left(\dfrac13\right)^{x} \lt 5$: так как $0 \lt \tfrac13 \lt 1$ (убывание), $x\gt\log_{1/3}5$. Ответ: $\left(\log_{1/3}5;+\infty\right)$.

Пример. $49\cdot5^{x}-25\cdot7^{x}\gt 0$: делим на $7^{x}\gt 0$, получаем $49\left(\dfrac57\right)^{x}\gt 25=49\left(\dfrac57\right)^{2}$, т.е. $\left(\dfrac57\right)^{x}\gt\left(\dfrac57\right)^{2}$ — так как $0 \lt \tfrac57 \lt 1$ (убывание), $x \lt 2$. Ответ: $(-\infty;2)$.

⚠️ Частая ошибкаПри $0 \lt a \lt 1$ ученики по привычке сохраняют знак неравенства при переходе от $a^x \lessgtr a^{x_0}$ к $x$, как если бы функция возрастала. На самом деле убывающая функция «переворачивает» неравенство — это тот же эффект, что при делении обеих частей числового неравенства на отрицательное число.

Запомни

🧠 $a^{x}\lessgtr b$ ($a\gt 0,\ a\ne1$)

$b\le0$: $a^{x}\gt b$ — все $x$; $\;a^{x} \lt b$ — решений нет;
$b\gt 0$, $x_0=\log_ab$, $a\gt 1$ (возрастает) — знак сохраняется;
$b\gt 0$, $x_0=\log_ab$, $0 \lt a \lt 1$ (убывает) — знак меняется на противоположный.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике