💡 Из жизни: представь, что в магазине один пакет сока стоит какую-то
цену — ты пока не знаешь точно сколько, но уже можешь записать: «беру 3 пакета» — это
$3\cdot(\text{цена})$. Как только вместо слова «цена» подставишь букву, например
$p$, запись превратится в $3p$. Вот так из числового выражения рождается буквенное —
просто вместо конкретного числа в нём стоит буква.
Определение. Если в числовом выражении некоторые (или все) входящие в
него числа заменить буквами (разные числа — разными буквами), то получится
буквенное выражение. Чаще всего для этого используют буквы латинского
алфавита.
Пример 1. Если в числовом выражении
$(5+3):2$ заменить число $5$ буквой $a$, число $3$ буквой $b$ и число $2$ буквой $c$,
то получим буквенное выражение $(a+b):c$.
Пример 2. Если в числовом выражении
$((5-3)+(5-2)):(5-1)$ заменить число $5$ буквой $x$ и число $3$ буквой $y$, то получим
буквенное выражение $((x-y)+(x-2)):(x-1)$.
Вот ещё примеры буквенных выражений: $a+(-a)-(a+3)$, $x+(y+z)$, $a:b$, $(x+a):(c-d)$.
Заметь: буквенное выражение может состоять даже из одной буквы — например, просто
$a$, $c$, $n$ или $x$.
Буквенное выражение — это тоже алгебраическое выражение
Буквенные выражения называют ещё алгебраическими выражениями, причём
обычные числа тоже считают алгебраическими выражениями (просто без букв).
Если два алгебраических выражения соединить знаком сложения, вычитания, умножения или
деления, снова получится алгебраическое выражение — его называют соответственно
суммой, разностью, произведением или
частным данных выражений. Например, для выражений $a+1$ и $a-b$:
Знак умножения перед скобками часто опускают: произведение $(a+1)\cdot(a-b)$ обычно
записывают короче — $(a+1)(a-b)$.
Важно. Не для всяких двух выражений можно определить частное — это
связано с делением на нуль. Если знаменатель обратится в нуль, частное не имеет смысла
(совсем как с числовыми выражениями).
Задача. Марки братьев — решение в общем виде
Буквенные выражения удобны, когда одна и та же задача встречается со множеством разных
чисел — тогда её решают один раз «в общем виде», буквами, а числа подставляют потом.
Такой приём часто используют в геометрии и физике.
Два брата коллекционируют марки. У старшего в 3 раза больше марок, чем у младшего, а
всего у них $a$ марок. Сколько марок у каждого?
1
У младшего брата — 1 «часть» всех марок, у старшего — 3 такие же части. Значит, все
$a$ марок разбиты на $1+3=4$ части.
2
На одну часть приходится $a:4=\dfrac{a}{4}$ марок — столько марок у младшего брата.
3
У старшего брата 3 такие части: $3\cdot\dfrac{a}{4}=\dfrac{3a}{4}$ марок.
Ответ получился буквенным: $\dfrac{a}{4}$ марок и $\dfrac{3a}{4}$ марок. Теперь для
любого конкретного количества марок (100, 200, хоть 1000) достаточно подставить число
вместо $a$ — заново решать задачу не нужно.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: увидев в определении слова «некоторые (или все)»,
ученик решает, что раз можно заменить не все числа, то можно заменять их как попало.
На самом деле правило строгое: одно и то же число всюду заменяется одной и той
же буквой, а разные числа — разными буквами. Например,
во втором примере число $2$ и число $1$ буквами не
заменяли — они остались числами, а вот все три «пятёрки» в выражении
$((5-3)+(5-2)):(5-1)$ заменены одной и той же буквой $x$, потому что это одно и то же
число, просто встретившееся несколько раз.
Запомни
🧠 Буквенное (алгебраическое) выражение получается из числового, если некоторые или все
числа в нём заменить буквами — разные числа разными буквами, одинаковые числа одинаковыми.
Числа тоже считаются алгебраическими выражениями. Сумма, разность, произведение и частное
двух алгебраических выражений — тоже алгебраическое выражение (кроме деления на нуль —
оно смысла не имеет). Знак умножения перед скобками можно не писать.