Что такое одночлен
💡 Из жизни: когда в физике пишут формулу площади прямоугольника
$S = a\cdot b$ или путь $S=v\cdot t$, правая часть — это просто числа и буквы,
перемноженные друг с другом, без сложения и вычитания. Такое выражение — «чистое
произведение» — и есть одночлен.
Определение. Одночленом называют алгебраическое
выражение, являющееся произведением букв и чисел. Эти буквы и числа называют
множителями данного одночлена.
Например, алгебраическое выражение $3abc$ — одночлен; его множители — число $3$ и
буквы $a$, $b$, $c$. Заметь: при записи этого одночлена знаки умножения опущены.
Вот ещё примеры одночленов, где знаки умножения не опущены:
$x\cdot(-3)\cdot y\cdot1\cdot x$, $\ 1\cdot a\cdot(-1)\cdot b$,
$\ a\cdot0\cdot b\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)\cdot a$.
🧠 Число или одна-единственная буква — тоже одночлен. Например, $a$, $b$, $c$, $1$,
$\dfrac{1}{3}$, $0$ — всё это одночлены. Число $0$ называют нулевым
одночленом.
Когда два одночлена считают равными
Одну и ту же величину можно записать разными одночленами. Чтобы не путаться, в
алгебре договорились о четырёх правилах, по которым одночлены считают равными.
1
Свойство 1. Два одночлена
равны, если отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Например,
$a\cdot3\cdot b\cdot c=3\cdot c\cdot b\cdot a$ — множители переставлены, а
одночлен тот же самый.
2
Свойство 2. Два одночлена
равны, если один получен из другого заменой нескольких числовых множителей их
произведением. Например, $a\cdot7\cdot(-3)\cdot b=a\cdot(-21)\cdot b$.
3
Свойство 3. Одночлен
считают равным нулю, если среди его множителей есть число $0$. Например,
$a\cdot(-1)\cdot b\cdot0\cdot c=0$. Такой одночлен и называют нулевым, а
остальные — ненулевыми.
4
Свойство 4. Два одночлена
равны, если один получен из другого опусканием множителя $1$. Например,
$a\cdot1\cdot b\cdot c=abc$.
Не всякое выражение — одночлен
Одночлен — это именно произведение, а не сумма и не разность.
Поэтому, например, выражение $a+b$ одночленом не является: в нём буквы не
перемножены, а сложены. А вот $ba$, $b^2c$ или $7kb$ — это одночлены, потому что
всюду стоит только умножение.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: ученики думают, что в одночлене обязательно
должны быть и числа, и буквы вместе. На самом деле это не так: одна буква
(например, просто $x$) или одно число (например, $5$ или $0$) — уже сами по себе
одночлены, ведь «произведение» может состоять и из одного множителя.
Запомни
🧠 Одночлен — это произведение букв и чисел (в частности, одно число или одна буква
тоже одночлен). Два одночлена считают равными, если один получается из другого:
(1) перестановкой множителей, (2) объединением числовых множителей в один,
(3) обращаются оба в нуль из-за множителя $0$, или (4) опусканием множителя $1$.
Одночлен с нулевым множителем — нулевой одночлен, остальные — ненулевые.