7.7. Примеры использования арксинуса и арккосинуса
🎯ИдеяНеравенство $\sin\alpha\gtrless a$ решается тем же способом, что и уравнение — только теперь нас интересует не сама точка пересечения, а дуга окружности, которая лежит выше или ниже прямой $y=a$.
Решение неравенств $\sin\alpha\gtrless a$ и $\cos\alpha\gtrless a$ сводится к арксинусу/арккосинусу через анализ положения точки на единичной окружности относительно прямой $y=a$ (или $x=a$). Переключай вкладки справа и двигай ползунок — зелёная дуга покажет решение.
$\sin\alpha \gt \tfrac12$: точки пересечения прямой $y=\tfrac12$ с окружностью соответствуют углам $\tfrac{\pi}{6}$ и $\tfrac{5\pi}{6}$; ответ:
$$\dfrac{\pi}{6}+2\pi n \lt \alpha \lt \dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$\cos\alpha \gt \tfrac12$: точки соответствуют углам $\pm\tfrac{\pi}{3}$; ответ:
$$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
⚠️Частая ошибкаДля $\sin\alpha\gt a$ дуга-решение идёт «сверху» — от $\arcsin a$ до $\pi-\arcsin a$, а не наоборот. Легко перепутать направление обхода: всегда смотри, какая дуга реально лежит выше прямой $y=a$ на чертеже, а не полагайся на память формулы.
Запомни
🧠Неравенства через дугу
найди $\arcsin a$ (или $\arccos a$) и вторую граничную точку;
отметь на окружности, какая дуга лежит выше/ниже (левее/правее) прямой;
границы дуги дают неравенство для $\alpha$, а $+2\pi n$ добавляет все обороты.