10 класс · Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции

Арккосинус

🎯 ИдеяС арккосинусом всё то же самое, что и с арксинусом, только прямая теперь вертикальная ($x=a$), а «единственная» половина окружности — верхняя, угол берётся из $[0;\pi]$.

Для числа $a$, $|a|\le1$, прямая $x=a$ пересекает верхнюю полуокружность единичной окружности в единственной точке $B$; вектор $OB$ образует с $OA$ единственный угол $\alpha$ из $[0;\pi]$, косинус которого равен $a$. Этот угол обозначают $\arccos a$.

📐 ОпределениеАрккосинус числа $a$ ($|a|\le1$) — угол $\alpha$ из $[0;\pi]$, такой что $\cos\alpha=a$.

Для $|a|\le1$ $\arccos a$ существует и единственен; для $|a|\gt1$ — не существует. Из определения: $\cos(\arccos a)=a$ при $|a|\le1$.

Примеры. $\arccos1=0$; $\arccos0=\tfrac{\pi}{2}$; $\arccos(-1)=\pi$; $\arccos\tfrac12=\tfrac{\pi}{3}$.

Общее решение уравнения $\cos\alpha=a$

Если $|a| \lt 1$: прямая $x=a$ пересекает окружность в двух точках, соответствующих углам $\alpha_0=\arccos a$ и $\beta_0=-\arccos a$ (двигай ползунок — вторая точка появится сама). Все решения:

$$\alpha = \arccos a + 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}; \qquad \alpha = -\arccos a + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

Если $a=1$: $\alpha=2\pi n$. Если $a=-1$: $\alpha=\pi+2\pi n$. Если $|a|\gt1$: решений нет.

⚠️ Частая ошибкаПутают промежутки: для арксинуса $\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$, а для арккосинуса — $[0;\pi]$. Если написал $\arccos a\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$ — это чужой промежуток, ошибка.

Запомни

🧠 Арккосинус
  • $\arccos a$ определён только при $|a|\le1$ и лежит в $[0;\pi]$ (верхняя полуокружность);
  • $\cos(\arccos a)=a$;
  • общее решение $\cos\alpha=a$ — две серии: $\arccos a+2\pi n$ и $-\arccos a+2\pi k$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике