Алгебра 10 класс: Формулы для арксинуса и арккосинуса

        🎯
        ИдеяДве полезные формулы для «отрицательного аргумента» внутри арксинуса/арккосинуса — и два тождества, которые «сокращают» функцию с обратной, если угол уже лежит в нужном промежутке.
      

📐 Формула нечётности арксинусаДля $|a|\le1$:

$$\arcsin(-a) = -\arcsin a$$

Доказательство. Пусть $\alpha=\arcsin a$ ($\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$, $\sin\alpha=a$). Так как $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha=-a$ и $-\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$, по определению $-\alpha=\arcsin(-a)$.

📐 Формула для арккосинуса отрицательного аргументаДля $|a|\le1$:

$$\arccos(-a) = \pi - \arccos a$$

Доказательство. Пусть $\alpha=\arccos a$ ($\alpha\in[0;\pi]$, $\cos\alpha=a$). Так как $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=-a$ и $\pi-\alpha\in[0;\pi]$, по определению $\arccos(-a)=\pi-\alpha$.

Примеры. $\arcsin\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}$; $\arccos\left(-\tfrac12\right)=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}$.

Тождества с ограничением области

Для $\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$: $\arcsin(\sin\alpha) = \alpha$. Для $\alpha\in[0;\pi]$: $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$.

Пример. $\arcsin\left(\sin\tfrac{13\pi}{6}\right)$: так как $\tfrac{13\pi}{6}\notin\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$, но $\sin\tfrac{13\pi}{6}=\sin\left(2\pi+\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\tfrac{\pi}{6}$, а $\tfrac{\pi}{6}\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$, получаем $\arcsin\left(\sin\tfrac{13\pi}{6}\right) = \tfrac{\pi}{6}$.

Пример. $\arccos(\cos(-6))$: так как $-6\notin[0;\pi]$, но $\cos(-6)=\cos(2\pi-6)$, а $2\pi-6\in[0;\pi]$, получаем $\arccos(\cos(-6)) = 2\pi-6$.

⚠️ Частая ошибкаТождество $\arcsin(\sin\alpha)=\alpha$ работает только когда $\alpha$ уже внутри $\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$! Если угол снаружи — сначала найди «дублёра» этого же значения синуса внутри нужного промежутка (пример выше), а не пиши ответ «в лоб».

Запомни

🧠 Формулы §7.8

$\arcsin(-a)=-\arcsin a$ — арксинус нечётный;
$\arccos(-a)=\pi-\arccos a$ — не нечётный и не чётный, а «дополняющий»;
$\arcsin(\sin\alpha)=\alpha$ только при $\alpha\in\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$, $\arccos(\cos\alpha)=\alpha$ только при $\alpha\in[0;\pi]$.

§7 · п.7.7 Примеры использования арксинуса и арккосинуса Все темы §8 · п.8.1 Определение тангенса и котангенса угла

Симметрия точек $\alpha$ и $-\alpha$