Определён для всех углов, кроме $\alpha = \tfrac{\pi}{2}+\pi k$ ($k\in\mathbb{Z}$), где $\cos\alpha=0$ — там пришлось бы делить на ноль.
Определён для всех углов, кроме $\alpha = \pi k$ ($k\in\mathbb{Z}$), где $\sin\alpha=0$.
Примеры. $\operatorname{tg}\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{3}$, $\operatorname{ctg}\tfrac{\pi}{6}=\sqrt3$; $\operatorname{tg}45^\circ=1$; $\operatorname{ctg}60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3}$. При $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$: тангенс не существует, но $\operatorname{ctg}\tfrac{\pi}{2}=0$. При $\alpha=0$: котангенс не существует, но $\operatorname{tg}0=0$.
На прямой $x=1$, касательной к единичной окружности в точке $A$, вводят числовую ось с тем же направлением и масштабом, что и $Oy$ — ось тангенсов (справа на чертеже). Если провести луч $OB$ до пересечения с этой осью в точке $D$, то координата точки $D$ равна в точности $\operatorname{tg}\alpha$.
Доказательство. Из подобия треугольников $OBC$ (где $C$ — проекция $B$ на $Ox$) и $ODA$: $\dfrac{BC}{OC}=\dfrac{AD}{OA}$. С учётом знаков $BC=\pm\sin\alpha$, $OC=\pm\cos\alpha$ в разных четвертях, получаем $AD=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$ во всех случаях.
Аналогично строится ось котангенсов — на прямой $y=1$, касательной к окружности в верхней точке $M$. Координата пересечения луча $OB$ с этой осью равна $\operatorname{ctg}\alpha$. Двигай ползунок справа и переключай вкладки — увидишь обе оси в деле.