Алгебра 10 класс: Основные формулы для tg и ctg

        🎯
        ИдеяТангенс — нечётная функция (как $\sin$) и повторяется каждые $\pi$ радиан (не $2\pi$, как $\sin$ и $\cos$) — потому что противоположная точка окружности даёт луч по той же самой прямой, а значит и то же самое пересечение с осью тангенсов.
      

Нечётность и период

$$\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha, \qquad \operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$$ $$\operatorname{tg}(\alpha+\pi n) = \operatorname{tg}\alpha, \qquad \operatorname{ctg}(\alpha+\pi n) = \operatorname{ctg}\alpha \quad (n\in\mathbb{Z})$$

Доказательство нечётности. $\operatorname{tg}(-\alpha) = \dfrac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = \dfrac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\operatorname{tg}\alpha$.

Доказательство периода $\pi$. Для $\alpha+\pi$: $\operatorname{tg}(\alpha+\pi) = \dfrac{\sin(\alpha+\pi)}{\cos(\alpha+\pi)} = \dfrac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$ — знаки минус в числителе и знаменателе сокращаются. Переключай вкладки справа, чтобы увидеть обе формулы на окружности.

Пример. $\operatorname{tg}\tfrac{5\pi}{6} = \operatorname{tg}\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\tfrac{\pi}{6} = -\tfrac{\sqrt3}{3}$; $\operatorname{tg}\tfrac{10\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(3\pi+\tfrac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\tfrac{\pi}{3} = \sqrt3$.

Дополнительные тождества

$$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$$

(для $\alpha \ne \tfrac{\pi k}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$, где обе функции определены) — прямое следствие того, что $\operatorname{ctg}\alpha = 1/\operatorname{tg}\alpha$.

$$\operatorname{tg}^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$$

Доказательство первой. $\operatorname{tg}^2\alpha+1 = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1 = \dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ — по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. Вторая формула доказывается так же.

⚠️ Частая ошибкаНе путай период тангенса с периодом синуса и косинуса! У $\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ период $\pi$, а не $2\pi$ — значит $\operatorname{tg}(\alpha+\pi)=\operatorname{tg}\alpha$, но $\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha\ne\sin\alpha$.

Запомни

🧠 Формулы §8.2

$\operatorname{tg}$ и $\operatorname{ctg}$ — нечётные функции;
период у обеих равен $\pi$, а не $2\pi$;
$\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$;
$\operatorname{tg}^2\alpha+1=1/\cos^2\alpha$, $\operatorname{ctg}^2\alpha+1=1/\sin^2\alpha$.

§8 · п.8.1 Определение тангенса и котангенса угла Все темы §8 · п.8.3 Арктангенс

Нечётность тангенса