💡 Из жизни: представь, что клетка организма делится надвое:
после первого деления клеток $2$, после второго — $2\cdot2=2^2$, после третьего —
$2\cdot2\cdot2=2^3$ и т. д. Показатель степени как раз и показывает, сколько раз
число (или буква) умножено само на себя.
Определение.Произведение одночленов равно
одночлену, множителями которого являются все множители данных одночленов.
Например, произведение одночлена $a^3$ и одночлена $bca$ есть одночлен $a^3bca$,
что записывают в виде равенства $$a^3\cdot bca=a^3bca.$$
Степень одночлена
Произведение $k$ одинаковых одночленов, каждый из которых есть $a$, кратко
обозначают $a^k$ и называют $k$-й степенью $a$. Число $k$
называют показателем степени, а букву $a$ —
основанием степени.
Например, пишут: $aa=a^2$, $aaa=a^3$, $aaaa=a^4$ — произведение двух множителей
$a$ называют «$a$ в квадрате», трёх множителей — «$a$ в кубе». Пишут также
$a^1=a$: «$a$ в первой степени равно $a$».
Три правила действий со степенями
Если $m$ и $n$ — натуральные числа, выполняются три равенства. Нажимай на правило,
чтобы увидеть его на схеме справа.
1
Правило 1.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
При умножении степеней одной и той же буквы показатели складывают, а основание
оставляют прежним. Например: $a^3a^2=aaa\cdot aa=aaaaa=a^5=a^{3+2}$.
2
Правило 2.
$$(ab)^n=a^n\cdot b^n$$
При возведении в степень произведения букв нужно возвести в эту степень каждую
букву и результаты перемножить. Например: $(ab)^2=ab\cdot ab=aa\cdot bb=a^2b^2$.
3
Правило 3.
$$(a^m)^n=a^{mn}$$
При возведении степени буквы в степень показателем нужно взять произведение
показателей степеней, а основание оставить прежним. Например:
$(a^2)^3=a^2\cdot a^2\cdot a^2=aaaaaa=a^6=a^{2\cdot3}$.
Ещё три свойства одночленов
Свойство 5. Два одночлена считают равными, если один из них
получен из другого заменой произведения одинаковых букв соответствующей степенью
этой буквы. Например: $5a^2bab^3=5a^3b^4$, $(-3)aaab=(-3)a^3b$.
Свойство 6. Если перед одночленом поставить знак «$+$», получится
одночлен, равный исходному. Например: $+abc=abc$, $+(-7)ab=(-7)ab$.
Свойство 7. Если перед одночленом поставить знак «$-$», получится
одночлен, равный исходному, умноженному на число $-1$. Например: $-abc=(-1)abc$.
Отсюда: $-(-7ab)=(-1)\bigl((-1)7ab\bigr)=7ab$.
🧠 Одночлен и такой же одночлен, но со знаком минус перед ним, называют
противоположными одночленами. Например, $3a^2bc$ и $-3a^2bc$ —
противоположные одночлены; так же как $a$ и $-a$.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: при умножении степеней одной буквы показатели
путают и перемножают вместо того, чтобы их сложить: пишут $a^3\cdot a^2=a^6$
(как будто $3\cdot2$), хотя правильно $a^3\cdot a^2=a^{3+2}=a^5$. Перемножать
показатели нужно совсем в другом правиле — когда степень возводят в степень:
$(a^3)^2=a^{3\cdot2}=a^6$.
Запомни
🧠 Произведение одночленов — одночлен из всех их множителей. Одинаковые множители
сворачивают в степень: $a^k$ — это $k$ штук множителей $a$. Три правила степеней:
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ (показатели складывают), $(ab)^n=a^nb^n$ (возводят в степень
каждую букву), $(a^m)^n=a^{mn}$ (показатели перемножают). Знак «$+$» перед
одночленом ничего не меняет, а знак «$-$» равносилен умножению на $-1$.