Для любого действительного $a$ прямая $y=a$ пересекает ось тангенсов в единственной точке $D$; прямая $OD$ пересекает правую полуокружность в единственной точке $B$ — значит, $\operatorname{arctg} a$ существует и единственно для любого действительного $a$ (в отличие от арксинуса, у которого $|a|\le1$). По определению:
$$\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} a) = a$$Примеры. $\operatorname{arctg}0=0$; $\operatorname{arctg}1=\tfrac{\pi}{4}$; $\operatorname{arctg}(-1)=-\tfrac{\pi}{4}$. Подвигай ползунок справа — увидишь, как меняется угол.
Прямая $OD$ пересекает единичную окружность в двух точках — они соответствуют углам $\alpha_0=\operatorname{arctg} a$ и $\beta_0=\pi+\alpha_0$ (противоположная точка на той же прямой). Все решения объединяются в одну формулу:
$$\alpha = \operatorname{arctg} a + \pi n, \quad n\in\mathbb{Z}$$Пример. $\operatorname{tg}\alpha=0$: так как $\operatorname{arctg}0=0$, все решения — $\alpha=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$, и других корней нет.