10 класс · Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции
Арккотангенс
ИдеяАрккотангенс устроен как арктангенс, только «зеркальная» ось — котангенсов, а угол ищут не левее-правее оси $Oy$, а выше-ниже оси $Ox$: строго между $0$ и $\pi$.
Арккотангенс числа $a$Это угол $\alpha$ из промежутка $(0;\pi)$, такой что $\operatorname{ctg}\alpha = a$. Обозначается $\operatorname{arcctg} a$.
Для любого действительного $a$ прямая $x=a$ пересекает ось котангенсов в единственной точке $D$; прямая $OD$ пересекает верхнюю полуокружность в единственной точке $B$ — значит, $\operatorname{arcctg} a$ существует и единственно для любого действительного $a$. По определению:
$$\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} a) = a$$Примеры. $\operatorname{arcctg}0=\tfrac{\pi}{2}$; $\operatorname{arcctg}1=\tfrac{\pi}{4}$; $\operatorname{arcctg}(-1)=\tfrac{3\pi}{4}$. Подвигай ползунок — увидишь, как меняется угол.
Общее решение уравнения $\operatorname{ctg}\alpha=a$
Как и для арктангенса, прямая $OD$ пересекает окружность в двух диаметрально противоположных точках, и все решения объединяются в одну формулу:
$$\alpha = \operatorname{arcctg} a + \pi n, \quad n\in\mathbb{Z}$$Запомни
Арккотангенс
- $\operatorname{arcctg} a$ — угол из $(0;\pi)$, существует для любого $a$;
- $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} a)=a$ — всегда;
- общее решение $\operatorname{ctg}\alpha=a$: $\alpha=\operatorname{arcctg} a+\pi n$.