8.5. Примеры использования арктангенса и арккотангенса
🎯ИдеяНеравенство $\operatorname{tg}\alpha\gtrless a$ решается так же, как со синусом и косинусом — через положение точки на оси, только теперь надо помнить про вертикальные «дыры» в графике (асимптоты), где $\operatorname{tg}$ не существует.
Так как $\operatorname{tg}$ возрастает на $\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$, а $\operatorname{ctg}$ убывает на $(0;\pi)$, положение точки на оси тангенсов/котангенсов относительно значения $a$ сразу даёт неравенство для угла. Переключай вкладки справа и двигай ползунок — зелёная дуга покажет решение.
$\operatorname{tg}\alpha \gt 1$: так как $\operatorname{arctg}1=\tfrac{\pi}{4}$, ответ:
$$\dfrac{\pi}{4}+\pi n \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$\operatorname{ctg}\alpha \gt \tfrac{\sqrt3}{3}$: так как $\operatorname{arcctg}\tfrac{\sqrt3}{3}=\tfrac{\pi}{3}$, ответ:
$$\pi n \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
⚠️Частая ошибкаНе забывай про асимптоту на границе промежутка! Для $\operatorname{tg}\alpha\gt a$ верхняя граница — не «где-то далеко», а именно $\tfrac{\pi}{2}+\pi n$, ровно там, где тангенс не определён. Знак неравенства у этой границы всегда строгий (никогда $\le$).
Запомни
🧠Неравенства с tg и ctg
найди $\operatorname{arctg} a$ (или $\operatorname{arcctg} a$) — это одна граница;
вторая граница — ближайшая асимптота ($\pm\tfrac{\pi}{2}$ для tg, $0$ или $\pi$ для ctg);
добавь $+\pi n$ — период у tg и ctg равен $\pi$, а не $2\pi$.