10 класс · Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции
Примеры использования арктангенса и арккотангенса
ИдеяНеравенство $\operatorname{tg}\alpha\gtrless a$ решается так же, как со синусом и косинусом — через положение точки на оси, только теперь надо помнить про вертикальные «дыры» в графике (асимптоты), где $\operatorname{tg}$ не существует.
Так как $\operatorname{tg}$ возрастает на $\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$, а $\operatorname{ctg}$ убывает на $(0;\pi)$, положение точки на оси тангенсов/котангенсов относительно значения $a$ сразу даёт неравенство для угла. Переключай вкладки и двигай ползунок — зелёная дуга покажет решение.
Общие формулы (для любого действительного $a$)
$$\operatorname{tg}\alpha \gt a:\quad \operatorname{arctg} a+\pi n \lt \alpha \lt \tfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\operatorname{tg}\alpha \lt a:\quad -\tfrac{\pi}{2}+\pi n \lt \alpha \lt \operatorname{arctg} a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\operatorname{ctg}\alpha \gt a:\quad \pi n \lt \alpha \lt \operatorname{arcctg} a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\operatorname{ctg}\alpha \lt a:\quad \operatorname{arcctg} a+\pi n \lt \alpha \lt \pi+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$Примеры
$\operatorname{tg}\alpha \gt 1$: так как $\operatorname{arctg}1=\tfrac{\pi}{4}$, ответ:
$$\dfrac{\pi}{4}+\pi n \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$$\operatorname{ctg}\alpha \gt \tfrac{\sqrt3}{3}$: так как $\operatorname{arcctg}\tfrac{\sqrt3}{3}=\tfrac{\pi}{3}$, ответ:
$$\pi n \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Частая ошибкаНе забывай про асимптоту на границе промежутка! Для $\operatorname{tg}\alpha\gt a$ верхняя граница — не «где-то далеко», а именно $\tfrac{\pi}{2}+\pi n$, ровно там, где тангенс не определён. Знак неравенства у этой границы всегда строгий (никогда $\le$).
Запомни
Неравенства с tg и ctg
- найди $\operatorname{arctg} a$ (или $\operatorname{arcctg} a$) — это одна граница;
- вторая граница — ближайшая асимптота ($\pm\tfrac{\pi}{2}$ для tg, $0$ или $\pi$ для ctg);
- добавь $+\pi n$ — период у tg и ctg равен $\pi$, а не $2\pi$.