Формулы для дополнительных углов
Доказательство. По формуле косинуса разности: $\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\tfrac{\pi}{2}\cos\alpha+\sin\tfrac{\pi}{2}\sin\alpha = 0\cdot\cos\alpha+1\cdot\sin\alpha = \sin\alpha$. Для второй формулы обозначим $\beta=\tfrac{\pi}{2}-\alpha$: по уже доказанному $\sin\beta=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\beta\right)$; подставив $\beta$, получаем $\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$.
Пример
Формулы позволяют свести незнакомый угол к уже известному:
$$\cos\frac{3\pi}{8} = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right) = \sin\frac{\pi}{8}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{12}$$Почему это работает — взгляд на окружность
На единичной окружности точки, отвечающие углам $\alpha$ и $\tfrac{\pi}{2}-\alpha$, симметричны относительно прямой $y=x$. Симметрия относительно этой прямой как раз и меняет местами координаты $x$ и $y$ — то есть $\cos$ и $\sin$. Подвигай слайдер справа и убедись: с ростом $\alpha$ дополнительный угол $\tfrac{\pi}{2}-\alpha$ убывает.
Запомни
- $\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$ — «косинус дополнения» это синус;
- $\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$ — «синус дополнения» это косинус;
- геометрически — симметрия относительно прямой $y=x$.