Алгебра 10 класс: Синус суммы и синус разности двух углов

        🎯
        ИдеяФормулы для синуса выводятся из уже известных формул для косинуса — через связь $\sin\varphi=\cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\varphi\right)$ из прошлого пункта. Не нужно ничего доказывать заново «с нуля».
      

📐 Теорема 1 (синус суммы)Для любых углов $\alpha$ и $\beta$:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

Доказательство. $\sin(\alpha+\beta) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha-\beta\right) = \cos\left(\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.

Пример. $\sin\dfrac{5\pi}{12} = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

📐 Теорема 2 (синус разности)Для любых углов $\alpha$ и $\beta$:

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$

Доказательство. $\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ (косинус чётен, синус нечётен).

Пример. $\sin15° = \sin(45°-30°) = \sin45°\cos30°-\cos45°\sin30° = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.

Метод вспомогательного угла

Найдём наименьшее значение $A=3\cos\alpha+4\sin\alpha$. Вынесем множитель $\sqrt{3^2+4^2}=5$: $A=5\left(\tfrac35\cos\alpha+\tfrac45\sin\alpha\right)$. Так как $\left(\tfrac35\right)^2+\left(\tfrac45\right)^2=1$, найдётся угол $\beta$ с $\sin\beta=\tfrac35$, $\cos\beta=\tfrac45$, тогда $A=5(\sin\beta\cos\alpha+\cos\beta\sin\alpha)=5\sin(\beta+\alpha)$. Наименьшее значение синуса равно $-1$, значит наименьшее значение $A$ равно $-5$.

⚠️ Частая ошибка$\sin(\alpha+\beta) \ne \sin\alpha+\sin\beta$! Синус — не линейная функция, «раскрывать скобки» напрямую нельзя. Формула суммы содержит оба слагаемых — $\sin\alpha\cos\beta$ и $\cos\alpha\sin\beta$.

Запомни

🧠 Формулы 9.3

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$;
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$;
в отличие от косинуса, у синуса знак в правой части совпадает со знаком в левой.

§9 · п.9.2 Формулы для дополнительных углов Все темы §9 · п.9.4 Сумма и разность синусов и косинусов

Точки $B(\alpha)$ и $C(\beta)$ на единичной окружности

α 55°

β 30°