Доказательство. Точки $B$ и $C$ единичной окружности, отвечающие углам $\alpha$ и $\beta$, задают векторы $\vec a = (\cos\alpha; \sin\alpha)$ и $\vec b = (\cos\beta; \sin\beta)$. Их скалярное произведение равно $\vec a \cdot \vec b = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. С другой стороны, $\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos\gamma = \cos\gamma$, где $\gamma$ — угол между векторами. Можно показать, что $\cos\gamma = \cos(\alpha-\beta)$ для любых $\alpha,\beta$ — отсюда и следует формула.
Доказательство. $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha-(-\beta)) = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta)$. Так как косинус чётен, а синус нечётен: $\cos(-\beta)=\cos\beta$, $\sin(-\beta)=-\sin\beta$. Подставляя, получаем $\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Найдём $\cos\dfrac{\pi}{12}$, представив $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$:
$$\cos\frac{\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{(1+\sqrt3)\sqrt2}{4}$$Ещё один пример — оценка выражения $A=\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha$. Вынесем множитель $\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2$: $A = 2\left(\tfrac12\cos\alpha+\tfrac{\sqrt3}{2}\sin\alpha\right) = 2\left(\cos\tfrac{\pi}{3}\cos\alpha+\sin\tfrac{\pi}{3}\sin\alpha\right) = 2\cos\left(\tfrac{\pi}{3}-\alpha\right)$. Наибольшее значение косинуса равно $1$, значит наибольшее значение $A$ равно $2$.