🎯
ИдеяФормулы прошлых пунктов «превращают произведение в сумму»: $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta)$. А что если нужно наоборот — превратить сумму $\sin\alpha+\sin\beta$ в произведение? Именно для этого нужны формулы этого пункта, они удобны для упрощения выражений и решения уравнений.
📐
Сумма и разность синусов
$$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$$
📐
Сумма и разность косинусов
$$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$
Доказательство (единое для всех четырёх формул). Обозначим $x=\tfrac{\alpha+\beta}{2}$, $y=\tfrac{\alpha-\beta}{2}$ — тогда $\alpha=x+y$, $\beta=x-y$. Раскрывая $\sin(x+y)\pm\sin(x-y)$ и $\cos(x+y)\pm\cos(x-y)$ по формулам суммы/разности из пунктов 9.1 и 9.3, перекрёстные слагаемые сокращаются, и остаются ровно удвоенные произведения — то, что и требовалось.