10 класс · Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции

Формулы для двойных и половинных углов

          🎯
          ИдеяФормулы для $2\alpha$ — это просто частный случай формул суммы при $\beta=\alpha$: $\sin(\alpha+\alpha)$, $\cos(\alpha+\alpha)$. А формулы для половинного угла $\alpha/2$ выводятся из формулы $\cos2\varphi$ — если положить $\varphi=\alpha/2$, получится уравнение на $\sin^2(\alpha/2)$ и $\cos^2(\alpha/2)$.
        

📐 Синус и косинус двойного угла

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$

Доказательство. $\sin2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$; $\cos2\alpha=\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$. Остальные два варианта — подстановка основного тождества $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Пример. При $\sin\alpha=\tfrac35$, $\alpha\in\left(\tfrac{\pi}{2};\pi\right)$: $\cos\alpha=-\tfrac45$ (отрицателен во II четверти); $\sin2\alpha=2\cdot\tfrac35\cdot\left(-\tfrac45\right)=-\tfrac{24}{25}$, $\cos2\alpha=\tfrac{16}{25}-\tfrac{9}{25}=\tfrac{7}{25}$.

📐 Квадраты синуса и косинуса половинного угла

$$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$$

Доказательство. $\cos\alpha=\cos\left(2\cdot\tfrac{\alpha}{2}\right)=\cos^2\tfrac{\alpha}{2}-\sin^2\tfrac{\alpha}{2}$, а по основному тождеству $1=\cos^2\tfrac{\alpha}{2}+\sin^2\tfrac{\alpha}{2}$. Складывая эти два равенства получаем $1+\cos\alpha=2\cos^2\tfrac{\alpha}{2}$, вычитая — $1-\cos\alpha=2\sin^2\tfrac{\alpha}{2}$.

Пример. $\cos^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2+\sqrt2}{4}$, и так как $\cos\dfrac{\pi}{8} \gt 0$: $\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$.

⚠️ Частая ошибка$\cos2\alpha \ne 2\cos\alpha$ — двойка внутри аргумента, а не множитель перед всей функцией! У $\cos2\alpha$ есть сразу три равносильных вида — выбирай тот, что подходит под задачу (например, если известен только $\sin\alpha$, удобнее $1-2\sin^2\alpha$).

Запомни

🧠 Формулы 9.5

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$;
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$;
$\sin^2\tfrac{\alpha}{2}=\tfrac{1-\cos\alpha}{2}$, $\cos^2\tfrac{\alpha}{2}=\tfrac{1+\cos\alpha}{2}$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике