10 класс · Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции

9.6*. Произведение синусов и косинусов

          🎯
          ИдеяЭто «обратный ход» относительно пункта 9.4: там сумму превращали в произведение, здесь — наоборот, произведение превращаем в сумму. Достаточно сложить или вычесть уже знакомые формулы $\sin(\alpha\pm\beta)$ и $\cos(\alpha\pm\beta)$.
        

📐 ТеоремаДля любых углов $\alpha$ и $\beta$:

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac12\bigl(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\bigr)$$ $$\cos\alpha\cos\beta = \frac12\bigl(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\bigr)$$ $$\sin\alpha\sin\beta = \frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\bigr)$$

Доказательство. Складывая $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ и $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$, слагаемые с $\cos\alpha\sin\beta$ сокращаются — остаётся первая формула. Аналогично складывая формулы $\cos(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha-\beta)$ получаем вторую; вычитая — третью.

Пример

$\cos\dfrac{\pi}{8}\cos\dfrac{3\pi}{8} = \dfrac12\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right) = \dfrac12\left(0+\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = \dfrac{\sqrt2}{4}$.

Эти формулы удобны и для доказательства тождеств: например, $\sin2\alpha\sin\alpha+\sin4\alpha\sin\alpha = \sin2\alpha\sin3\alpha$ проверяется, если обе части превратить в разности косинусов по формуле произведения синусов и сравнить результат.

Запомни

🧠 Формулы 9.6* — «произведение в сумму»

перед скобкой всегда множитель $\tfrac12$;
$\sin\alpha\cos\beta$ и $\cos\alpha\cos\beta$ дают сумму $(\alpha+\beta)$ и $(\alpha-\beta)$-слагаемых, а $\sin\alpha\sin\beta$ — их разность (в обратном порядке: минус со знаком суммы);
дополнительный материал — вне обязательной программы, но полезен для олимпиад и упрощения тригонометрических выражений.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике