🎯ИдеяЭто «обратный ход» относительно пункта 9.4: там сумму превращали в произведение, здесь — наоборот, произведение превращаем в сумму. Достаточно сложить или вычесть уже знакомые формулы $\sin(\alpha\pm\beta)$ и $\cos(\alpha\pm\beta)$.
Доказательство. Складывая $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ и $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$, слагаемые с $\cos\alpha\sin\beta$ сокращаются — остаётся первая формула. Аналогично складывая формулы $\cos(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha-\beta)$ получаем вторую; вычитая — третью.
Эти формулы удобны и для доказательства тождеств: например, $\sin2\alpha\sin\alpha+\sin4\alpha\sin\alpha = \sin2\alpha\sin3\alpha$ проверяется, если обе части превратить в разности косинусов по формуле произведения синусов и сравнить результат.
Запомни
🧠Формулы 9.6* — «произведение в сумму»
перед скобкой всегда множитель $\tfrac12$;
$\sin\alpha\cos\beta$ и $\cos\alpha\cos\beta$ дают сумму $(\alpha+\beta)$ и $(\alpha-\beta)$-слагаемых, а $\sin\alpha\sin\beta$ — их разность (в обратном порядке: минус со знаком суммы);
дополнительный материал — вне обязательной программы, но полезен для олимпиад и упрощения тригонометрических выражений.