Алгебра 10 класс: Формулы для тангенсов

        🎯
        ИдеяТак как $\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$, все формулы для тангенса можно получить из уже известных формул синуса и косинуса — просто поделить одну на другую и сократить на $\cos\alpha\cos\beta$.
      

📐 Тангенс суммы и разности

$$\operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}, \qquad \operatorname{tg}(\alpha-\beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$$

Доказательство. $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$; деление числителя и знаменателя на $\cos\alpha\cos\beta\ne0$ даёт формулу. Формула для разности — при $\beta\to-\beta$.

Пример. $\operatorname{tg}75° = \operatorname{tg}(45°+30°) = \dfrac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}} = 2+\sqrt3$.

Ещё формулы этого пункта

Тангенс дополнительного угла: $\operatorname{tg}\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha$.

Тангенс двойного угла (формула суммы при $\beta=\alpha$): $\operatorname{tg}2\alpha = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$.

Тангенс половинного угла: $\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Универсальная подстановка — выражение $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$ через $t=\operatorname{tg}\tfrac{\alpha}{2}$:

$$\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{2t}{1-t^2}$$

Пример. $\operatorname{tg}22{,}5° = \dfrac{\sin45°}{1+\cos45°} = \dfrac{\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}} = \sqrt2-1$.

⚠️ Частая ошибкаФормулы тангенса суммы/разности не определены, когда $\alpha$, $\beta$ или сам $\alpha\pm\beta$ равны $\tfrac{\pi}{2}+\pi k$ — там тангенс не существует. Перед использованием формулы всегда проверяй область допустимых значений.

Запомни

🧠 Формулы 9.7*

$\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$ — знак внизу «противоположный»;
$\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$;
дополнительный материал — вне обязательной программы, пригодится при решении тригонометрических уравнений.

§9 · п.9.6 Произведение синусов и косинусов Все темы §10 · п.10.1 Функция y = sin x

Точки $B(\alpha)$ и $C(\beta)$ на единичной окружности

α 40°

β 65°