9.7*. Формулы для тангенсов
Доказательство. $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$; деление числителя и знаменателя на $\cos\alpha\cos\beta\ne0$ даёт формулу. Формула для разности — при $\beta\to-\beta$.
Пример. $\operatorname{tg}75° = \operatorname{tg}(45°+30°) = \dfrac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}} = 2+\sqrt3$.
Ещё формулы этого пункта
Тангенс дополнительного угла: $\operatorname{tg}\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha$.
Тангенс двойного угла (формула суммы при $\beta=\alpha$): $\operatorname{tg}2\alpha = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$.
Тангенс половинного угла: $\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Универсальная подстановка — выражение $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\operatorname{tg}\alpha$ через $t=\operatorname{tg}\tfrac{\alpha}{2}$:
$$\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{2t}{1-t^2}$$Пример. $\operatorname{tg}22{,}5° = \dfrac{\sin45°}{1+\cos45°} = \dfrac{\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}} = \sqrt2-1$.
Запомни
- $\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$ — знак внизу «противоположный»;
- $\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$;
- дополнительный материал — вне обязательной программы, пригодится при решении тригонометрических уравнений.