💡 Из жизни: представь, что на складе один и тот же товар записали
в накладную несколько раз в разном порядке и вперемешку с числом коробок:
«$3$ коробки, ещё $b$ коробок, ещё $2$ коробки того же товара». Прежде чем сдать
отчёт, кладовщик наводит порядок: складывает все числа и группирует одинаковый
товар. Так же поступают с одночленом — приводят его к аккуратной, единственно
правильной записи.
Определение. Говорят, что ненулевой одночлен, содержащий буквы,
имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой
множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в записи лишь
один раз в виде некоторой степени; при этом буквы записаны в порядке алфавита.
Например, ненулевые одночлены $(-12)ab^2c$, $\tfrac{1}{3}x^4y^2$, $(-1)a^2b$ имеют
стандартный вид. Их коэффициенты соответственно равны числам $-12$, $\tfrac13$, $-1$.
Коэффициент одночлена
Определение. Числовой множитель ненулевого одночлена, содержащего
буквы и имеющего стандартный вид, называют коэффициентом одночлена.
Если ненулевой одночлен имеет только буквенные множители, то считают, что его
коэффициент равен $1$. Например, одночлены $a$, $ab$, $x^2yz^2$ являются одночленами
стандартного вида, коэффициент каждого из них равен $1$.
Если коэффициент ненулевого одночлена стандартного вида — отрицательное число, то
такой одночлен записывают ещё и так: сначала знак минус, затем абсолютная величина
коэффициента, а после — буквенные множители. Например, одночлены
$-\tfrac43x^4y^2$, $-a^2b^3$ считаются одночленами стандартного вида: $\tfrac43$ —
коэффициент первого из них, $-1$ — коэффициент второго.
Любое действительное число тоже считается одночленом, записанным в стандартном
виде: например, числа $3$, $-1$, $5$ — одночлены стандартного вида.
Приведение одночлена к стандартному виду
Любой одночлен можно привести к стандартному виду, пользуясь свойствами одночленов.
Иначе говоря, для любого одночлена найдётся равный ему одночлен стандартного вида.
Нажимай на шаги справа, чтобы увидеть, как это происходит на примере.
1
Шаг 1.
Смотрим на исходный, «неаккуратный» одночлен — числа и буквы идут вперемешку,
одни и те же буквы повторяются несколько раз.
2
Шаг 2.
Перемножаем отдельно все числа и отдельно — все степени каждой буквы: показатели
одинаковых букв складываются.
3
Шаг 3.
Записываем коэффициент на первом месте, а буквы — в алфавитном порядке. Получили
стандартный вид.
Следующие одночлены записаны не в стандартном виде:
$3a^22bc$, $(-1)ba^2d^3$, $7a^4ba^2b^3$, $0\cdot a^2b^2$ — в них либо несколько
числовых множителей, либо буквы повторяются, либо нарушен алфавитный порядок.
Нулевой одночлен
Если среди множителей одночлена встречается число $0$, то произведение равно $0$
независимо от остальных множителей. Такой одночлен называют
нулевым одночленом, а его стандартный
вид — это просто число $0$.
Например, одночлен $a^3\cdot5b\cdot0\cdot c=0$ — нулевой, потому что среди его
множителей есть число $0$.
Степень одночлена
Определение.Степенью ненулевого одночлена стандартного
вида называется сумма показателей степеней всех его букв.
Например, одночлен $3a^2b$ — третьей степени ($2+1=3$), одночлен $3c$ — первой
степени, а степень одночлена $2a^3b$ равна четырём ($3+1=4$).
Действительное, отличное от нуля число считается одночленом нулевой
степени. Например, одночлены $-5$, $7$, $-0{,}3$ имеют степень $0$.
🧠 Число нуль — нулевой одночлен — единственный одночлен, степень которого
не определена.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: путают два разных понятия — «нулевой одночлен»
и «одночлен, который обращается в нуль при подстановке значения буквы». Например,
одночлен $a^2b$ — не нулевой: у него есть стандартный вид $a^2b$ и коэффициент $1$.
То, что при $a=0$ его значение окажется равным нулю, не делает сам одночлен
нулевым — нулевым одночлен называют только тогда, когда среди его множителей
изначально стоит число $0$, независимо от того, какие значения примут буквы.
Запомни
🧠 Одночлен стандартного вида — это один числовой коэффициент на первом месте
плюс каждая буква ровно один раз (в виде степени), буквы — по алфавиту. Чтобы
привести одночлен к стандартному виду: перемножь все числа отдельно, сложи
показатели у одинаковых букв, запиши буквы по алфавиту. Степень одночлена — сумма
показателей всех его букв; у числа степень равна $0$, а у нулевого одночлена
степень не определена.