🎡
ИдеяПредставь колесо обозрения. Кабинка стартует справа от центра (на уровне центра, угол поворота $x=0$) и едет против часовой стрелки. Тогда $\sin x$ — это высота кабинки над центром колеса в момент, когда она повернулась на угол $x$: сначала кабинка поднимается (высота растёт до максимума), потом опускается, потом уходит ниже центра — и так по кругу, снова и снова, с одним и тем же рисунком движения.
📐
ОпределениеФункция $y=\sin x$ (синус числового аргумента $x$) — каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие синус угла в $x$ радиан. Область определения — вся числовая прямая $\mathbb{R}$, область значений — отрезок $[-1;\,1]$.
Свойства
1. Нечётная: $\sin(-x) = -\sin x$ для любого $x$ — график симметричен относительно начала координат.
2. Периодическая с главным периодом $2\pi$: $\sin(x+2\pi) = \sin x$, и меньшего положительного периода не существует.
3. Непрерывна на всей числовой прямой — график без разрывов и "скачков".
4. Монотонность: на $\left[-\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{\pi}{2}\right]$ функция возрастает от $-1$ до $1$, на $\left[\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{3\pi}{2}\right]$ — убывает от $1$ до $-1$. Дальше рисунок повторяется через $2\pi$: возрастает на каждом $\left[-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\ \tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right]$, убывает на каждом $\left[\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\ \tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$, где $n$ — любое целое число.
Пример. Найдём $\sin\dfrac{7\pi}{6}$. Представим $\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}$ и используем формулу приведения $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$: $\sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.
Как строится график
1
На отрезке $\left[0;\,\tfrac{\pi}{2}\right]$ график строится по таблице значений: функция непрерывно возрастает от $0$ до $1$.
2
На $\left[\tfrac{\pi}{2};\,\pi\right]$ график симметричен уже построенному куску относительно прямой $x=\tfrac{\pi}{2}$ — это следует из формулы $\sin x=\sin(\pi-x)$.
3
На $[-\pi;\,0]$ график симметричен построенному относительно начала координат (нечётность), а дальше просто повторяется с периодом $2\pi$ влево и вправо. Получившуюся кривую называют синусоидой.
⚠️
Частая ошибкаУченики иногда путают чётность/нечётность синуса и косинуса — например, пишут $\sin(-x)=\sin x$ (как для чётной функции). Запомни различие через график: синусоида симметрична относительно точки $(0;0)$ (нечётная), а косинусоида — относительно оси $Oy$ (чётная).