🎡
ИдеяТа же кабинка колеса обозрения, только теперь смотрим не на высоту, а на горизонтальное смещение кабинки от вертикальной оси, проходящей через центр колеса. В момент старта ($x=0$) кабинка максимально смещена вправо (смещение $=1$), затем сдвигается к центру, потом уходит влево — это и есть $\cos x$ в зависимости от угла поворота $x$.
📐
ОпределениеФункция $y=\cos x$ (косинус числового аргумента $x$) — каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие косинус угла в $x$ радиан. Область определения — $\mathbb{R}$, область значений — $[-1;\,1]$.
Свойства
1. Чётная: $\cos(-x) = \cos x$ для любого $x$ — график симметричен относительно оси $Oy$.
2. Периодическая с главным периодом $2\pi$: $\cos(x+2\pi) = \cos x$, меньшего положительного периода нет.
3. Непрерывна на всей числовой прямой.
4. Монотонность: на $[0;\,\pi]$ функция убывает от $1$ до $-1$, на $[\pi;\,2\pi]$ — возрастает от $-1$ до $1$. С учётом периода: убывает на каждом $[2\pi n;\ \pi+2\pi n]$, возрастает на каждом $[\pi+2\pi n;\ 2\pi+2\pi n]$, $n\in\mathbb{Z}$.
Так как $\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos x$ (формула для дополнительных углов), непрерывность $\cos x$ следует из непрерывности $\sin x$, а график $y=\cos x$ получается переносом графика $y=\sin x$ влево на $\tfrac{\pi}{2}$.
Пример. Найдём $\cos\dfrac{5\pi}{3}$. Так как $\cos$ чётный и период $2\pi$: $\cos\dfrac{5\pi}{3} = \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}+2\pi\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
Как строится график
1
Берём уже построенную синусоиду $y=\sin x$ (из п. 10.1).
2
Сдвигаем весь график влево на $\tfrac{\pi}{2}$ — это и есть график $y=\cos x$, ведь $\cos x=\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)$.
3
Получившуюся кривую называют косинусоидой: та же волна, что и синусоида, только "стартует" не с нуля, а с максимума при $x=0$.
⚠️
Частая ошибкаНе существует положительного $T\lt2\pi$, при котором $\cos(x+T)=\cos x$ для всех $x$ — доказывается от противного: при $x=0$ получаем $\cos T=1$, а это выполняется только при $T=2\pi k$, наименьшее положительное значение — $2\pi$. Ученики иногда "укорачивают" период до $\pi$, путая с периодом $\operatorname{tg}x$ и $\operatorname{ctg}x$ (п. 10.3–10.4) — это разные функции с разными периодами.