🛣️
ИдеяТангенс угла подъёма — это крутизна дороги: отношение высоты подъёма к горизонтальному расстоянию. Пологая дорога — маленький угол, маленький тангенс. Чем ближе угол подъёма к прямому ($90°=\tfrac{\pi}{2}$), тем круче становится дорога — и $\operatorname{tg}x$ стремительно улетает к $+\infty$. При почти вертикальном "спуске" в другую сторону — к $-\infty$.
📐
ОпределениеФункция $y=\operatorname{tg}x$ (тангенс числового аргумента $x$) определена для всех $x$, кроме $x=\tfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$ (там $\cos x=0$ и деление на ноль недопустимо). Область значений — вся числовая прямая $(-\infty;\,+\infty)$.
Свойства
1. Нечётная: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$.
2. Периодическая с главным периодом $\pi$ (вдвое короче, чем у синуса и косинуса!): $\operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}x$, меньшего положительного периода нет.
3. Непрерывна на каждом интервале $\left(-\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{\pi}{2}\right)$ между соседними точками разрыва.
4. Возрастает на $\left(-\tfrac{\pi}{2};\,\tfrac{\pi}{2}\right)$ — и с учётом периода на каждом $\left(-\tfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \tfrac{\pi}{2}+\pi n\right)$, $n\in\mathbb{Z}$.
Пример. Найдём $\operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{4}$. Так как период равен $\pi$: $\operatorname{tg}\dfrac{5\pi}{4} = \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right) = \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4} = 1$.
Как строится график
1
На $\left[0;\,\tfrac{\pi}{2}\right)$ график строится по таблице значений: функция возрастает от $0$ до $+\infty$, но никогда не достигает $x=\tfrac{\pi}{2}$ — там вертикальная асимптота.
2
На $\left(-\tfrac{\pi}{2};\,0\right]$ график симметричен построенному относительно начала координат (нечётность).
3
Дальше — периодическое продолжение с периодом $\pi$: бесконечно много одинаковых "веток" на интервалах $\left(-\tfrac{\pi}{2}+\pi n;\ \tfrac{\pi}{2}+\pi n\right)$. Кривую называют тангенсоидой.
⚠️
Частая ошибкаПо инерции после синуса и косинуса ученики считают период тангенса равным $2\pi$. На самом деле у $\operatorname{tg}x$ и $\operatorname{ctg}x$ (п. 10.4) главный период вдвое короче — $\pi$: график целиком повторяется уже через половину оборота. Не забывай также об асимптотах при $x=\tfrac{\pi}{2}+\pi k$ — в этих точках функция вообще не определена.