🛣️
ИдеяКотангенс — это величина, обратная тангенсу: отношение горизонтального расстояния к высоте подъёма, то есть "пологость" дороги. Почти горизонтальная дорога (угол подъёма близок к $0$) — котангенс огромен, дорога тянется далеко вперёд на каждый метр высоты. Почти вертикальный подъём (угол близок к $90°=\tfrac{\pi}{2}$) — $\operatorname{ctg}x$ стремится к $0$.
📐
ОпределениеФункция $y=\operatorname{ctg}x$ (котангенс числового аргумента $x$) определена для всех $x$, кроме $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$ (там $\sin x=0$). Область значений — $(-\infty;\,+\infty)$.
Свойства
1. Нечётная: $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}x$.
2. Периодическая с главным периодом $\pi$.
3. Непрерывна на каждом интервале $(0;\,\pi)$ между соседними точками разрыва.
4. Убывает на $(0;\,\pi)$ — и с учётом периода на каждом $(\pi n;\ \pi+\pi n)$, $n\in\mathbb{Z}$.
Так как $\operatorname{ctg}x=\operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)$, из непрерывности $\operatorname{tg}x$ следует непрерывность $\operatorname{ctg}x$, а график получается из тангенсоиды сдвигом вправо на $\tfrac{\pi}{2}$ и отражением относительно оси $Ox$.
Пример. Найдём $\operatorname{ctg}\dfrac{3\pi}{4}$. Так как период равен $\pi$ и функция нечётная: $\operatorname{ctg}\dfrac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg}\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{4} = -1$.
Как строится график
1
Берём уже построенную тангенсоиду $y=\operatorname{tg}x$ (из п. 10.3).
2
Сдвигаем весь график вправо на $\tfrac{\pi}{2}$ и отражаем относительно оси $Ox$ (так как $\operatorname{ctg}x=-\operatorname{tg}\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)$).
3
Получаем бесконечно много убывающих "веток" на интервалах $(\pi n;\ \pi+\pi n)$ — с вертикальными асимптотами теперь уже в точках $x=\pi k$. Кривую называют котангенсоидой.
⚠️
Частая ошибкаУченики часто путают области определения тангенса и котангенса: асимптоты $\operatorname{tg}x$ — в точках $x=\tfrac{\pi}{2}+\pi k$, а у $\operatorname{ctg}x$ — совсем в других точках, $x=\pi k$ (включая ноль!). Это зеркальные, а не совпадающие множества — перед решением уравнений и неравенств с котангенсом всегда проверяй именно $x\ne\pi k$.