11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного
🔁ИдеяЕсли в уравнении встречается не сам угол $x$, а одна и та же функция от него — например, $\cos x$ — то удобно на время «забыть» про тригонометрию: обозначить $\cos x$ буквой $t$, решить обычное алгебраическое уравнение относительно $t$, и только потом вернуться к $x$ через простейшее уравнение.
📐Способ 1 — замена $t=f(x)$Если $f$ — одна из основных тригонометрических функций, замена $t=f(x)$ сводит уравнение к квадратному или рациональному относительно $t$. Каждый найденный корень $t_i$ даёт своё простейшее уравнение $f(x)=t_i$.
Пример. $2\cos^2x+3\cos x+1=0$. Замена $t=\cos x$ даёт $2t^2+3t+1=0$, корни $t=-1$ и $t=-\tfrac12$. Возвращаемся: $\cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi m$; $\cos x=-\tfrac12\Rightarrow x=\pm\tfrac{2\pi}{3}+2\pi n$. Всего три серии решений.
Пример. $\operatorname{tg}x-\dfrac{15}{\operatorname{tg}x}=2$. Замена $t=\operatorname{tg}x$ даёт $t^2-2t-15=0$, корни $t=5,\,t=-3$, откуда $x=\operatorname{arctg}5+\pi m$ или $x=-\operatorname{arctg}3+\pi n$.
📐Способ 2 — замена $t=ax+b$Если весь аргумент функции — линейное выражение $ax+b$, замена $t=ax+b$ сводит его к простейшему виду, а после решения возвращаемся к $x$ выражением $x=\dfrac{t-b}{a}$.
Пример. $\cos\!\left(2x-\tfrac{\pi}{4}\right)=-1$: обозначим $t=2x-\tfrac{\pi}{4}$, тогда $\cos t=-1\Rightarrow t=\pi+2\pi n$, откуда $x=\dfrac{5\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.
⚠️Частая ошибкаПосле замены $t=\cos x$ (или $\sin x$) нельзя забывать проверку $|t|\le 1$ — корень квадратного уравнения вроде $t=2$ или $t=-3$ не даёт решений для $x$, потому что косинус и синус никогда не выходят за пределы $[-1;1]$. Не спеши писать $\arccos(2)$!
Запомни
🧠Уравнения через замену
если аргумент один и тот же, а функция повторяется — замени $t=f(x)$;
если аргумент линейный ($ax+b$) — замени сам аргумент $t=ax+b$;
решай алгебраическое уравнение относительно $t$, потом возвращайся к $x$;
для синуса/косинуса отбрасывай корни $t$ вне $[-1;1]$.