🕰️ИдеяСтрелка часов, вращаясь по кругу, оказывается в одном и том же положении снова и снова — через каждый полный оборот. Так и точка на единичной окружности: если $\sin x=a$ выполняется при каком-то угле $x_0$, то он выполнится и при $x_0+2\pi$, и при $x_0+4\pi$ — целая бесконечная серия решений, а не одно число.
📐ОпределениеУравнение $f(x)=a$, где $a$ — данное число, а $f(x)$ — одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.
Если функция $f$ имеет период $T\gt 0$ и $x_0$ — решение, то любое $x=x_0+kT$ тоже решение. Множество $\{x_0+kT,\ k\in\mathbb{Z}\}$ называют серией решений.
$\sin x=0$: серии $x=2\pi k$ и $x=\pi+2\pi m$ объединяются в $x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.
$\cos x=0$: серии $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$ и $x=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi m$ объединяются в $x=\tfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.
Двигай ползунок $a$ и переключай вкладки справа — точки на окружности покажут все решения на одном обороте.
⚠️Частая ошибкаДля $\sin x=a$ и $\cos x=a$ решений два на каждый оборот (кроме крайних $a=\pm1$), а для $\operatorname{tg}x=a$ и $\operatorname{ctg}x=a$ — только одно (просто с меньшим периодом $\pi$ вместо $2\pi$). Забыть вторую серию для синуса/косинуса — самая частая потеря корней на экзамене.