10 класс · Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические уравнения

🕰️ ИдеяСтрелка часов, вращаясь по кругу, оказывается в одном и том же положении снова и снова — через каждый полный оборот. Так и точка на единичной окружности: если $\sin x=a$ выполняется при каком-то угле $x_0$, то он выполнится и при $x_0+2\pi$, и при $x_0+4\pi$ — целая бесконечная серия решений, а не одно число.
📐 ОпределениеУравнение $f(x)=a$, где $a$ — данное число, а $f(x)$ — одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.

Если функция $f$ имеет период $T\gt 0$ и $x_0$ — решение, то любое $x=x_0+kT$ тоже решение. Множество $\{x_0+kT,\ k\in\mathbb{Z}\}$ называют серией решений.

Формулы решений

1. $\sin x=a$:

$$-1\lt a\lt 1:\quad x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

При $a=1$: $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$. При $a=-1$: $x=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$. При $|a|\gt 1$ — решений нет.

2. $\cos x=a$:

$$-1\lt a\lt 1:\quad x=\pm\arccos a+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

При $a=1$: $x=2\pi k$. При $a=-1$: $x=\pi+2\pi k$. При $|a|\gt 1$ — решений нет.

3. $\operatorname{tg}x=a$ (любое $a\in\mathbb{R}$): $x=\operatorname{arctg}a+\pi k$.

4. $\operatorname{ctg}x=a$ (любое $a\in\mathbb{R}$): $x=\operatorname{arcctg}a+\pi k$.

Пример

$\sin x=0$: серии $x=2\pi k$ и $x=\pi+2\pi m$ объединяются в $x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

$\cos x=0$: серии $x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k$ и $x=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi m$ объединяются в $x=\tfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.

Двигай ползунок $a$ и переключай вкладки — точки на окружности покажут все решения на одном обороте.

⚠️ Частая ошибкаДля $\sin x=a$ и $\cos x=a$ решений два на каждый оборот (кроме крайних $a=\pm1$), а для $\operatorname{tg}x=a$ и $\operatorname{ctg}x=a$ — только одно (просто с меньшим периодом $\pi$ вместо $2\pi$). Забыть вторую серию для синуса/косинуса — самая частая потеря корней на экзамене.

Запомни

🧠 Простейшие уравнения
  • $\sin x=a$: $x=(-1)^n\arcsin a+\pi n$;
  • $\cos x=a$: $x=\pm\arccos a+2\pi k$;
  • $\operatorname{tg}x=a$: $x=\operatorname{arctg}a+\pi k$; $\operatorname{ctg}x=a$: $x=\operatorname{arcctg}a+\pi k$;
  • при $|a|\gt 1$ уравнения с синусом/косинусом решений не имеют.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике