11.3. Применение основных формул для решения уравнений
🧩ИдеяУравнение редко приходит уже в «простейшем» виде — обычно в нём вперемешку встречаются $\sin$, $\cos$, разные углы ($x$, $2x$, $3x$...). Прежде чем решать, нужно привести уравнение к одной функции одного угла — а для этого в ход идут все уже известные формулы: основное тождество, формулы сложения, двойного и половинного угла.
📐Четыре приёма приведения1. Основное тригонометрическое тождество $\sin^2x+\cos^2x=1$ — убирает одну из функций. 2. Формулы сложения — превращают сумму/разность в произведение или наоборот. 3. Понижение кратности угла — двойной угол через одинарный. 4. Понижение степени — через формулы половинного угла для чётных степеней.
Примеры
Основное тождество. $3\sin x=2\cos^2x$. Заменяем $\cos^2x=1-\sin^2x$: получаем $2\sin^2x+3\sin x-2=0$. Замена $t=\sin x$ даёт $t=\tfrac12$ или $t=-2$ (отбрасываем — вне области). Итог: $x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi m$ или $x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n$.
Формулы сложения. $\sin5x\cos3x=\sin3x\cos5x$. Переносим всё влево: $\sin5x\cos3x-\cos5x\sin3x=0$, а это в точности $\sin(5x-3x)=0$, то есть $\sin2x=0$. Отсюда $2x=\pi m$, значит:
$$x=\dfrac{\pi m}{2},\ m\in\mathbb{Z}$$
Понижение кратности. $\cos2x-\sin x=0$. Через $\cos2x=1-2\sin^2x$ сводится к $2\sin^2x+\sin x-1=0$: корни $\sin x=-1$ или $\sin x=\tfrac12$ — три серии решений.
⚠️Частая ошибкаФормулу сложения $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ легко перепутать со знаком: в примере выше $\sin5x\cos3x-\cos5x\sin3x$ — это именно $\sin(5x-3x)$, а не $\sin(5x+3x)$. Перед сворачиванием формулы всегда сверяй порядок слагаемых с образцом формулы.
Запомни
🧠Применение формул
сначала приведи всё к одной функции одного угла;
ищи «заготовки» формул сложения — суммы вида $\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$;
двойной угол $\to$ одинарный через $\cos2x=1-2\sin^2x$ или $2\cos^2x-1$;
дальше — обычная замена переменной и простейшее уравнение.