10 класс · Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции

Однородные уравнения

⚖️ ИдеяЕсли в уравнении все слагаемые — одной и той же «степени» относительно $\sin x$ и $\cos x$ (то есть каждое слагаемое либо просто $\sin x$/$\cos x$, либо произведение той же суммарной степени), можно смело поделить обе части на $\cos x$ (или $\cos^n x$) — и вся конструкция превратится в уравнение только с $\operatorname{tg}x$.
📐 ОпределениеУравнение $a\sin x+b\cos x=0$ ($a\ne0,\ b\ne0$) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Теорема. При $a\ne0,\ b\ne0$ уравнение $a\sin x+b\cos x=0$ равносильно $a\operatorname{tg}x+b=0$.

Доказательство. Если $x_0$ — корень исходного уравнения, то $\cos x_0\ne0$ (иначе из уравнения следовало бы и $\sin x_0=0$ — а синус и косинус одновременно в нуль не обращаются). Значит, можно смело делить на $\cos x_0\ne0$: получаем $a\operatorname{tg}x_0+b=0$. Обратное — аналогично.

$$x=-\operatorname{arctg}\dfrac{b}{a}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пример. $\sin x+\cos x=0$ равносильно $\operatorname{tg}x+1=0$, откуда $x=-\tfrac{\pi}{4}+\pi n$.

📐 Однородные уравнения степени $n$Уравнение $a_0\sin^nx+a_1\sin^{n-1}x\cos x+\dots+a_n\cos^nx=0$ (хотя бы два коэффициента не равны нулю) — однородное уравнение степени $n$.

При $a_0\ne0$ оно равносильно $a_0\operatorname{tg}^nx+a_1\operatorname{tg}^{n-1}x+\dots+a_n=0$ — доказательство то же самое: $\cos x_0\ne0$ для любого корня, делим на $\cos^nx_0$. Замена $t=\operatorname{tg}x$ сводит к алгебраическому уравнению степени $n$; каждый корень $t_i$ даёт простейшее $\operatorname{tg}x=t_i$.

Пример. $3\sin^2x-5\sin x\cos x+2\cos^2x=0$ равносильно $3\operatorname{tg}^2x-5\operatorname{tg}x+2=0$ (корни $t=1$, $t=\tfrac23$), откуда $x=\tfrac{\pi}{4}+\pi k$ или $x=\operatorname{arctg}\tfrac23+\pi m$.

⚠️ Частая ошибкаКажется опасным «терять» корни при делении на $\cos x$ — но для однородного уравнения это безопасно: если бы $\cos x_0=0$ был корнем, то из уравнения обязательно следовало бы и $\sin x_0=0$, а такого $x_0$ не существует (синус и косинус не обнуляются одновременно). Поэтому здесь деление не теряет решений — в отличие от произвольных уравнений.

Запомни

🧠 Однородные уравнения
  • все слагаемые одной суммарной степени по $\sin x$ и $\cos x$ — признак однородности;
  • делим на $\cos^n x$ без потери корней;
  • получаем алгебраическое уравнение относительно $t=\operatorname{tg}x$;
  • каждый корень $t_i$ — своя серия $x=\operatorname{arctg}t_i+\pi k$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике