💡 Из жизни: представь чек из магазина: «$3$ пачки печенья» и
«$5$ пачек печенья» — товар один и тот же, различается только количество. Такие
строки чека легко сложить в одну: «$8$ пачек печенья». А вот «$3$ пачки печенья»
и «$3$ пачки сока» сложить в одну строку нельзя — товары разные. Ровно так же
устроены и одночлены.
Определение. Ненулевые одночлены стандартного вида называют
подобными, если они равны или если они различаются лишь своими
коэффициентами.
Например, одночлены $3ab$ и $5ab$ подобны, так как они различаются лишь своими
коэффициентами.
Как узнать, подобны ли одночлены
Чтобы узнать, подобны ли данные одночлены, их надо привести к стандартному виду.
Нажимай на шаги справа, чтобы увидеть это на примере одночленов $abab^2$ и $baab^2$.
1
Шаг 1.
Берём два одночлена в «неаккуратной» записи — буквы идут вперемешку и повторяются.
2
Шаг 2.
Приводим каждый одночлен к стандартному виду: складываем показатели одинаковых
букв.
3
Шаг 3.
Сравниваем результаты: если получили одинаковую буквенную часть — одночлены
подобны.
Одночлены $-3a^2bc$ и $a^2(-2)b^3c=-6a^2bc$ тоже подобны — после приведения к
стандартному виду ясно, что они различаются лишь коэффициентами. А среди
одночленов $a^2$, $b^2$, $a^3$, $1$, $3a^2b$, $3ab^2$ подобных нет вообще —
любые два из них имеют разную буквенную часть.
Сумма подобных одночленов
Определение. Сумма подобных одночленов равна одночлену, подобному
каждому из них, с коэффициентом, равным сумме коэффициентов данных одночленов. Если
сумма коэффициентов равна нулю, то и сумма одночленов равна нулю.
1
Шаг 1.
Берём два подобных слагаемых — у них одинаковая буквенная часть.
2
Шаг 2.
Складываем только коэффициенты, буквенную часть не трогаем.
3
Шаг 3.
Получаем результат — снова одночлен с той же буквенной частью.
Например: $3a^2b+2a^2b=(3+2)a^2b=5a^2b$, $\ 7xyz+3xyz+(-5)xyz=(7+3+(-5))xyz=5xyz$.
А если коэффициенты в сумме дают ноль — весь одночлен обращается в нуль:
$$2x^3y^2+(-2)x^3y^2=(2-2)x^3y^2=0.$$
Разность подобных одночленов
Определение. Разность двух подобных одночленов равна одночлену,
подобному каждому из них, с коэффициентом, равным разности коэффициентов
уменьшаемого и вычитаемого. Если разность коэффициентов равна нулю, то и разность
одночленов равна нулю.
1
Шаг 1.
Берём уменьшаемое и вычитаемое — два подобных одночлена.
2
Шаг 2.
Вычитаем коэффициент вычитаемого из коэффициента уменьшаемого.
3
Шаг 3.
Записываем результат с той же буквенной частью.
Например: $2abc^2-7abc^2=(2-7)abc^2=-5abc^2$, $\ \tfrac12a-\tfrac13a=(\tfrac12-\tfrac13)a=\tfrac16a$,
а если коэффициенты совпадают — получаем ноль: $3ac-3ac=0$.
Приведение подобных членов
Замену суммы подобных одночленов одночленом, равным этой сумме, называют
приведением подобных членов. Действие то же самое, что и сложение —
просто применяется к нескольким слагаемым сразу, а если среди них есть вычитаемые
(со знаком минус), они тоже участвуют в общей сумме коэффициентов.
⚠️ Частая ошибка: считают одночлены $a^2b$ и $ab^2$ подобными,
потому что в них встречаются одни и те же буквы $a$ и $b$. Но подобие определяется
не набором букв, а полной буквенной частью вместе с показателями степеней: в
$a^2b$ у буквы $a$ показатель $2$, а у буквы $b$ — $1$; в $ab^2$ — наоборот.
Буквенные части разные, значит одночлены не подобны, и складывать
их коэффициенты нельзя — сумма $a^2b+ab^2$ дальше не упрощается.
Запомни
🧠 Подобные одночлены — это одночлены с одинаковой буквенной частью (после
приведения к стандартному виду), различающиеся только коэффициентом. Чтобы
сложить или вычесть подобные одночлены, складывают (вычитают) только их
коэффициенты, а буквенную часть переписывают без изменений. Замена суммы
нескольких подобных одночленов одним называется приведением подобных членов.