Для любого события $A$ и несовместных событий $A$, $B$ выполнено:
$$0\le P(A)\le1,\qquad P(\Omega)=1,\qquad P(A+B)=P(A)+P(B)\ \ (\text{если }A,B\text{ несовместны})$$Доказательство свойства 3: пусть событию $A$ благоприятствуют $m_1$ случаев, событию $B$ — $m_2$ случаев из $n$ всего. Так как $A$ и $B$ несовместны, эти случаи различны, и событию $A+B$ благоприятствуют $m_1+m_2$ случаев. Значит, $P(A)+P(B)=\tfrac{m_1}{n}+\tfrac{m_2}{n}=\tfrac{m_1+m_2}{n}=P(A+B)$. По индукции свойство обобщается на любое число попарно несовместных событий.
Два единственно возможных события называют противоположными. Событие, противоположное $A$, обозначают $\bar A$ (означает «$A$ не произойдёт»). Так как $A$ и $\bar A$ несовместны, а $A+\bar A=\Omega$:
$$P(A)+P(\bar A)=1$$Если события $A$ и $B$ несовместны, то $AB=\varnothing$ и $P(AB)=0$.
Свойство 3 работает только для несовместных событий. Если события $A$ и $B$ могут происходить одновременно, часть случаев посчитана дважды — её нужно вычесть. Для любых событий $A$ и $B$:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$Доказательство: обозначим $A\backslash B$ — событие «$A$ происходит, $B$ не происходит». Так как $A$ и $B\backslash AB$ несовместны и $A\cup B=A+(B\backslash AB)$, то $P(A\cup B)=P(A)+P(B\backslash AB)$. Так как $B\backslash AB$ и $AB$ несовместны и $B=(B\backslash AB)+AB$, то $P(B)=P(B\backslash AB)+P(AB)$. Из двух равенств следует $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$.
В колоде 36 карт. $A$ — «вынута козырная карта», $B$ — «вынут туз». Тогда $P(A)=\tfrac{9}{36}=\tfrac14$, $P(B)=\tfrac{4}{36}=\tfrac19$, а $P(AB)=\tfrac{1}{36}$ (только одна карта — козырной туз — принадлежит обоим событиям сразу). По формуле объединения:
$$P(A\cup B)=\dfrac14+\dfrac19-\dfrac1{36}=\dfrac{9+4-1}{36}=\dfrac{12}{36}=\dfrac13$$