10 класс · Элементы теории вероятностей

12.1. Понятие вероятности события

🪙 Пример 1. МонетаПри бросании идеальной монеты появление герба и появление решки — равновозможные события: нет оснований считать, что одно из них происходит предпочтительнее другого. Обязательно происходит одно и только одно из этих двух событий — такие события называют случаями. Вероятность события — это отношение числа случаев, благоприятствующих ему, к числу всех случаев: $P(\text{герб})=\tfrac12$, $P(\text{решка})=\tfrac12$.

Основные определения

📘 Единственно возможные событияСобытия $A_1,\dots,A_n$ называют единственно возможными, если в опыте обязательно происходит одно и только одно из них.
📘 Равновозможные событияСобытия $C_1,\dots,C_n$ называют равновозможными, если нет оснований предполагать, что какое-то из них происходит предпочтительнее остальных.
📘 Достоверное и невозможное событияСобытие называют достоверным, если оно обязательно произойдёт, и невозможным, если оно не может произойти.
📘 Несовместные событияСобытия $A$ и $B$ называют несовместными, если они не могут произойти одновременно. Заметим: единственно возможные события всегда несовместны.

Классическое определение вероятности

Пусть в опыте обязательно происходит одно и только одно из $n$ равновозможных единственно возможных событий (случаев) $A_1,\dots,A_n$. Пусть событие $A$ заключается в том, что произойдёт один из $m$ заранее выделенных случаев. Тогда вероятность события $A$ определяют формулой:

$$P(A)=\dfrac{m}{n}$$

Если $m=0$ (нет ни одного благоприятствующего случая), событие $A$ невозможно, его обозначают $\varnothing$ и $P(\varnothing)=0$. Если $m=n$ (благоприятствуют все случаи), событие достоверно, его обозначают $\Omega$ и $P(\Omega)=1$.

Пример 2. Игральная кость

При бросании игральной кости события «выпало $i$ очков» ($i=1,\dots,6$) равновозможны и единственно возможны — это случаи, всего $n=6$, и $P(A_i)=\tfrac16$ для каждого. Составные события собираются из нескольких случаев:

событие $A$ — «выпало 6»: $1$ благоприятный случай, $P(A)=\tfrac16$;
событие $B$ — «выпало чётное число»: $3$ благоприятных случая, $P(B)=\tfrac36=\tfrac12$;
событие $C$ — «выпало 3 или 5»: $2$ благоприятных случая, $P(C)=\tfrac26=\tfrac13$;
событие $D$ — «выпало любое число от 1 до 6»: все $6$ случаев благоприятны, $P(D)=1$ (событие достоверно).

Попробуй выбрать событие справа на кубике и нажать «Бросить» — увидишь, попал ли результат в число благоприятных случаев.

⚠️ Частая ошибкаФормулу $P(A)=\tfrac{m}{n}$ можно применять только тогда, когда все $n$ случаев действительно равновозможны. Например, для «неправильной» кости, у которой грань «6» тяжелее и выпадает чаще остальных, нельзя писать $P(\text{«6»})=\tfrac16$ — все шесть исходов здесь уже не равновозможны, и формула из этого пункта неприменима.

Запомни

🧠 Вероятность события
  • случаи — равновозможные и единственно возможные исходы опыта;
  • $P(A)=\dfrac{m}{n}$, где $m$ — число случаев, благоприятствующих $A$, $n$ — общее число случаев;
  • $P(\varnothing)=0$ (невозможное событие), $P(\Omega)=1$ (достоверное событие);
  • формула работает только для равновозможных, единственно возможных случаев.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике