10 класс · Элементы теории вероятностей

Относительная частота события

📘 Относительная частота событияПусть событие $A$ имеет вероятность $p=P(A)$, где $0 \lt p \lt 1$. Опыт повторили $n$ раз, и в $m$ из них событие $A$ произошло. Число $\dfrac{m}{n}$ называют относительной частотой события $A$ в этой серии из $n$ опытов.

Статистическая устойчивость

Если бросать монету один раз, частота орла — либо $0$, либо $1$ — ничего не говорит о вероятности. Но если бросить монету очень много раз, происходит удивительная вещь: доля выпавших орлов группируется около $0{,}5$, и чем больше бросков — тем ближе. Это и есть статистическая устойчивость относительной частоты.

🎯 Реальные экспериментыФранцузский естествоиспытатель Ж. Бюффон бросил монету $4040$ раз, орёл выпал $2048$ раз — частота $\dfrac{2048}{4040}\approx 0{,}5069$. Английский статистик К. Пирсон бросил монету $24\,000$ раз — частота оказалась $0{,}5005$, то есть ещё ближе к теоретической вероятности $0{,}5$. Чем больше опытов — тем меньше отклонение частоты от вероятности.

Статистическое и классическое определения

Вероятность не всегда можно вычислить заранее (априори), как для игральной кости или монеты — иногда исходы опыта неравновозможны или их вообще нельзя перечислить. Если опыт можно повторить много раз в одинаковых условиях, относительная частота $\tfrac{m}{n}$ при большом $n$ служит приближённым значением вероятности события. Это — статистическое определение вероятности, в отличие от классического определения (отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов), которое требует заранее известной симметрии опыта.

Аксиоматическое определение (А. Н. Колмогоров, 1933)

Строгая математическая теория не опирается ни на подсчёт исходов, ни на эксперимент — вероятность вводится как функция $P(A)$ на множестве событий, подчинённая трём аксиомам Колмогорова:

1 Для любого события $A$: $0 \le P(A) \le 1$.
2 Если событие $A$ достоверно, то $P(A) = 1$.
3 Если события $A$ и $B$ несовместны, то $P(A+B)=P(A)+P(B)$.

Теорию для опытов с конечным числом исходов называют элементарной теорией вероятностей; для опытов с бесконечным (в том числе несчётным) числом исходов — общей теорией вероятностей, где третья аксиома формулируется для счётного числа несовместных событий.

⚠️ Частая ошибка — «закон серии»После пяти орлов подряд кажется, что следующий бросок «обязан» дать решку — монета якобы «должна выровнять» частоту. Это неверно: монета не помнит прошлые броски, и вероятность орла на следующем броске всегда $0{,}5$, независимо от истории. Частота сходится к $p$ не потому, что редкий исход «нагоняет» упущенное, а потому что при огромном числе новых бросков влияние уже случившихся первых пяти на общую долю становится ничтожным.

Запомни

🧠 Относительная частота
  • $\dfrac{m}{n}$ — доля опытов, в которых произошло событие $A$, из $n$ проведённых;
  • при больших $n$ частота группируется около истинной вероятности $p=P(A)$ — статистическая устойчивость;
  • это даёт статистическое определение вероятности, когда классическое (по симметрии исходов) неприменимо;
  • строгая теория (аксиомы Колмогорова) не зависит ни от подсчёта исходов, ни от эксперимента.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике