Алгебра 10 класс: Условная вероятность. Независимые события

Пример 1. Что меняет дополнительная информация

При броске кости событие $B$ — «выпало 6 очков» — без всяких условий имеет вероятность $P(B)=\tfrac16$. Но если уже известно, что произошло событие $A$ — «выпало не меньше 5 очков» (то есть выпало 5 или 6), — среди этих двух равновозможных исходов шестёрка составляет уже половину: вероятность $B$ «при условии $A$» равна $\tfrac12$. Знание о наступлении $A$ изменило вероятность события $B$.

📘 Условная вероятностьПусть событиям $A$, $B$, $AB$ благоприятствуют соответственно $m_1$, $m_2$, $l$ случаев из $n$ равновозможных единственно возможных случаев. Условной вероятностью события $B$ при условии, что произошло $A$, называют отношение числа случаев, благоприятствующих $AB$, к числу случаев, благоприятствующих $A$:

$$P_A(B) = \dfrac{l}{m_1}$$

Обозначение $P_A(B)$ читают «вероятность $B$ при условии $A$».

Пример 2. Номер квартиры

Номер квартиры — случайное число от $1$ до $40$. Без дополнительной информации вероятность угадать конкретный номер равна $\tfrac{1}{40}$. Но если известно, что номер делится на $8$ (таких номеров всего $5$: $8, 16, 24, 32, 40$), вероятность угадать номер при этом условии подскакивает до $P_A(B)=\tfrac15$ — информация резко сужает круг возможностей.

Формула умножения вероятностей

Так как $P(AB)=\tfrac{l}{n}=\tfrac{m_1}{n}\cdot\tfrac{l}{m_1}$, получаем формулу, связывающую вероятность пересечения с условной вероятностью:

$$P(AB) = P(A)\cdot P_A(B), \qquad P(AB) = P(B)\cdot P_B(A)$$

Отсюда, если $P(B) \gt 0$: $P_B(A) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$. Если $B$ — невозможное событие ($P(B)=0$), по определению считают $P_B(A)=0$. Вероятность $P(A)$ (без всяких условий) называют безусловной — в отличие от условной $P_B(A)$.

Пример 3. Когда условие не меняет вероятность

При броске кости: $A$ — «выпало чётное число», $B$ — «выпало 4, 5 или 6», $C$ — «выпало ровно 3». Тогда $P(AB)=\tfrac13=P(A)\cdot P_A(B)$, откуда $P_A(B)=\tfrac23$ — заметно больше безусловной $P(B)=\tfrac12$. А вот $P(AC)=0$ (чётное и одновременно тройка — невозможно), поэтому $P_A(C)=0$: условие $A$ полностью исключает $C$.

📘 Независимые событияЕсли условная вероятность совпадает с безусловной ($P_B(A)=P(A)$ или, что то же самое, $P_A(B)=P(B)$), знание о наступлении одного события никак не меняет представление о другом. События $A$ и $B$ называют независимыми, если

$$P(AB) = P(A)\cdot P(B)$$

Пример 4 и 5. Монеты и стрелки

Бросают две монеты; $A$ — «на первой герб», $B$ — «на второй герб». Всего $4$ равновозможных случая, $P(A)=P(B)=\tfrac12$, а $P(AB)=\tfrac14=P(A)P(B)$ — события независимы, что согласуется с интуицией: одна монета не влияет на другую.

Два стрелка стреляют независимо друг от друга: $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$. Вероятность поражения цели обоими: $P(AB)=P(A)P(B)=0{,}3$. Вероятность поражения хотя бы одним (по формуле объединения из § 12):

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0{,}6+0{,}5-0{,}3=0{,}8$$

⚠️ Частая ошибка — путают «независимые» и «несовместные»Кажется, что если события независимы, они не могут произойти одновременно — но это ровно наоборот. Несовместные события ($AB=\varnothing$, $P(AB)=0$) с ненулевыми вероятностями никогда не бывают независимыми: наступление одного делает другое заведомо невозможным, то есть сильно меняет его вероятность. Независимость — это когда события не влияют друг на друга, а вовсе не когда они «не пересекаются».

Запомни

🧠 Условная вероятность и независимость

$P_A(B)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$ — вероятность $B$ при известном наступлении $A$;
формула умножения: $P(AB)=P(A)\cdot P_A(B)=P(B)\cdot P_B(A)$;
$A$ и $B$ независимы $\iff P(AB)=P(A)\cdot P(B) \iff P_A(B)=P(B)$;
несовместные события с $P(A),P(B)\gt0$ никогда не независимы.

§13 · п.13.1 Относительная частота события Все темы §14 · п.14.1* Математическое ожидание

36 равновозможных исходов Ω — двигай ползунок, наблюдай P(A|B) и проверку независимости

A ↔ B