Бросают игральную кость. Заранее нельзя сказать, сколько выпадет очков — любое число от $1$ до $6$ равновозможно. Но если бросить кость сотню раз и посчитать среднее число выпавших очков, результат раз за разом будет колебаться около одного и того же значения — $3{,}5$. Это число — не случайность, а характеристика самой кости, которую можно вычислить заранее, даже не бросая её ни разу. Такую характеристику называют математическим ожиданием.
Если все значения равновероятны ($p=\tfrac1m$ для каждого), формула упрощается: $M(x)=\tfrac1m\sum x_i$ — обычное среднее арифметическое. Поэтому математическое ожидание называют ещё средним взвешенным значением: каждое $x_i$ входит в сумму с «весом» $p_i$, а не поровну.
Само число $3{,}5$ никогда не выпадет на кости — и это нормально: математическое ожидание не обязано быть одним из возможных значений, это именно средневзвешенный ориентир.
| Стрелок 1 | $x_i$ | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|
| $p_i$ | 0,5 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | |
| Стрелок 2 | $y_i$ | 3 | 2 | 1 | 0 |
| $p_i$ | 0,3 | 0,55 | 0,1 | 0,05 |
$M(x)=3\cdot0{,}5+2\cdot0{,}1+1\cdot0{,}2+0\cdot0{,}2=1{,}9$, а $M(y)=3\cdot0{,}3+2\cdot0{,}55+1\cdot0{,}1+0\cdot0{,}05=2{,}1$. Хотя оба стрелка иногда выбивают одни и те же очки, второй стрелок в среднем стреляет лучше — именно так тренер сравнивает игроков не по одному удачному выстрелу, а по устойчивому среднему результату за много попыток.
Ставка в игре — $500$ р. Выигрыш $900$ р. выпадает с вероятностью $\tfrac16$, выигрыш $600$ р. — с вероятностью $\tfrac13$, а ничего ($0$ р.) — с вероятностью $\tfrac12$.
$$M(x) = 900\cdot\tfrac16 + 600\cdot\tfrac13 + 0\cdot\tfrac12 = 350 \text{ р.}$$Игрок в среднем получает $350$ р., а платил $500$ р. — значит, в среднем теряет $150$ р. с каждой ставки. Отдельная партия может принести выигрыш, но математическое ожидание честно показывает: в долгой игре казино в выигрыше, а игрок — в среднем в проигрыше.