Подбрасываем монету не один раз, а два раза подряд. Первый бросок никак не влияет на второй — монета «не помнит», что выпало до этого. Такие два броска вместе образуют новый, более сложный опыт со своими исходами: «орёл-орёл», «орёл-решка», «решка-орёл», «решка-решка». Хочется понять: как вероятность каждого такого исхода связана с вероятностями отдельных бросков?
📘Независимые опыты и сложный опытОпыты называют независимыми, если вероятность появления события в каждом из них не зависит от того, произошло ли это (или другое) событие в остальных опытах. Сложный опыт — совокупность нескольких независимых опытов; для двух опытов новое событие обозначают $(A,B)$ — «в первом опыте произошло $A$, во втором — $B$».
Теорема умножения вероятностей
Для двух независимых опытов:
$$P(A,B) = P(A)\cdot P(B)$$
1Пусть в первом опыте $n$ равновозможных случаев, из которых $m$ благоприятствуют $A$, значит $P(A)=\tfrac{m}{n}$. Во втором опыте $k$ случаев, $l$ благоприятствуют $B$: $P(B)=\tfrac{l}{k}$.
2В сложном опыте каждому из $n$ исходов первого опыта соответствует любой из $k$ исходов второго — всего $nk$ равновозможных пар исходов.
3Событию $(A,B)$ благоприятствуют пары, где первый исход — один из $m$, а второй — один из $l$, то есть $ml$ пар.
Правило обобщается на любое число независимых опытов: $P(A_1,A_2,\dots,A_n) = P(A_1)\cdot P(A_2)\cdots P(A_n)$ — вероятности вдоль всей цепочки просто перемножаются.
🎲Жизненный пример — прогноз на пять бросковКость бросают $5$ раз. Какова вероятность, что одно очко выпадет только в 1-й, 4-й и 5-й раз (а во 2-й и 3-й — что угодно, кроме единицы)? Каждый бросок независим от других, поэтому вероятности вдоль цепочки перемножаются: $P = \tfrac16\cdot\tfrac56\cdot\tfrac56\cdot\tfrac16\cdot\tfrac16 = \tfrac{5^2}{6^5}$. Так работает прогноз погоды на несколько дней подряд или проверка нескольких партий деталей на конвейере: если события независимы, шанс всей цепочки — это произведение шансов на каждом шаге, и он быстро уменьшается с числом шагов.
Задача де Мерэ
Какова вероятность хотя бы одного выпадения шести очков при $4$ бросках кости? Считать «хотя бы один раз» напрямую сложно — исходов слишком много. Проще посчитать вероятность противоположного события «шесть не выпало ни разу»:
Тогда искомая вероятность — это единица минус вероятность противоположного события: $P = 1 - \left(\tfrac56\right)^4 \approx 0{,}518$. Слегка больше половины — именно на эту закономерность в XVII веке обратил внимание игрок Шевалье де Мерэ, что и подтолкнуло Паскаля и Ферма к созданию теории вероятностей.
⚠️Частая ошибка — складывать вместо умноженияУченики нередко складывают вероятности независимых событий вместо того, чтобы их перемножить: «вероятность орла и ещё раз орла» — не $\tfrac12+\tfrac12=1$, а $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$. Сложение работает для несовместных исходов одного опыта («выпадет 1 или 2» в одном броске), а умножение — для независимых событий в цепочке разных опытов («выпадет 1 и потом ещё раз 1»).
Запомни
🧠Сложный опыт
сложный опыт — это несколько независимых опытов, рассматриваемых как один;
для независимых опытов вероятности перемножаются: $P(A,B)=P(A)\cdot P(B)$;
обобщение на $n$ опытов: $P(A_1,\dots,A_n)=P(A_1)\cdots P(A_n)$;
«хотя бы один раз» удобнее считать через противоположное событие «ни разу».