Алгебра 10 класс: Формула Бернулли. Закон больших чисел

Сколько раз повторится успех

Семена прорастают с вероятностью $90\%$. Если посеять $5$ семян, сколько из них взойдёт — не известно заранее: может взойти и $3$, и $4$, и все $5$. Но можно точно посчитать вероятность каждого из этих вариантов. Задачи такого типа — «опыт повторяется $n$ раз, сколько раз произойдёт успех» — встречаются постоянно: контроль качества деталей, всхожесть семян, попадания в мишень.

📘 Формула БернуллиПусть в одном опыте вероятность события $A$ равна $p$, а опыт повторяется $n$ раз независимо друг от друга. Вероятность того, что $A$ произойдёт ровно $k$ раз ($k\le n$), обозначают $P_n(k)$ и вычисляют по формуле:

$$P_n(k) = C_n^k\, p^k q^{\,n-k}, \qquad q = 1-p$$

Здесь $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$ (число способов выбрать, в каких именно $k$ опытах из $n$ произойдёт $A$), $p^k$ — вероятность, что во всех выбранных опытах $A$ произошло, а $q^{\,n-k}$ — что в остальных не произошло.

Пример. Считаем для семян

1 $n=5$, $p=0{,}9$ (семя взошло), $q=1-0{,}9=0{,}1$ (не взошло), ищем $P_5(3)$.

2 Число способов выбрать, какие именно $3$ из $5$ семян взойдут: $C_5^3=10$.

3 $$P_5(3) = C_5^3\cdot 0{,}9^3\cdot 0{,}1^2 = 10\cdot0{,}729\cdot0{,}01 \approx 0{,}073$$

Вероятность того, что взойдёт ровно $3$ из $5$ семян — около $7\%$. Это меньше, чем можно ожидать: при такой высокой всхожести гораздо вероятнее, что взойдут $4$ или все $5$.

        📊
        Жизненный пример — где «горб» распределенияЗначения $P_n(k)$ при фиксированных $n$ и $p$ сначала растут, достигают максимума при некотором $k=m$, близком к $np$ (с точностью до единицы), а затем убывают. Это как рост учеников в классе: средних по росту — большинство, а очень низких или очень высоких — единицы. Двигая ползунки $n$ и $p$ на диаграмме, видно, как этот «горб» смещается и меняет форму — центр всегда держится около $np$.
      

Закон больших чисел

При многократном повторении независимого опыта с вероятностью успеха $p$ относительная частота $\tfrac{m}{n}$ (доля успехов среди $n$ опытов) почти наверняка мало отличается от $p$ — чем больше опытов, тем увереннее можно на это рассчитывать.

Точная формулировка. Для любых сколь угодно малых положительных $\varepsilon$ и $\delta$ можно указать такое $n$, что при $n$-кратном повторении опыта:

$$P\!\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| \lt \varepsilon\right) \gt 1 - \delta$$

Именно поэтому статистика, собранная на больших выборках (перепись населения, соцопросы, контроль качества на заводе), заслуживает доверия: единичный опыт может сильно отклониться от $p$, но при росте $n$ отклонения относительной частоты от $p$ становятся всё менее вероятны.

⚠️ Частая ошибка — «закон компенсации»Закон больших чисел не означает, что после серии неудач шанс на успех повышается («уже пять раз подряд решка — значит, скоро точно будет орёл»). Монета не помнит прошлых бросков, вероятность орла на следующем броске всё так же $0{,}5$. Закон больших чисел говорит про относительную частоту на большом числе опытов, а не про компенсацию в ближайших нескольких — это разные утверждения, и вторая интуиция (ошибка игрока) математически неверна.

Запомни

🧠 Бернулли и закон больших чисел

$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}$ — вероятность ровно $k$ успехов из $n$ независимых опытов;
сумма всех $P_n(k)$ по $k$ от $0$ до $n$ равна $1$;
максимум $P_n(k)$ достигается при $k\approx np$;
закон больших чисел: при росте $n$ относительная частота $\tfrac{m}{n}$ сближается с $p$.

§14 · п.14.2* Сложный опыт Все темы Гл.I · §1 · п.1.1 Элементарные функции

Двигай n и p — столбики показывают Pₜ(k), зелёная линия отмечает np