💡 Из жизни: представь чек из магазина: «$3$ тетради», «$2$ ручки»
и «$1$ рюкзак» — три разные строки с разными товарами. Сложить их в одну строку
нельзя, но весь чек целиком — это как раз сумма таких разных строк. Многочлен
устроен так же: это сумма одночленов, каждый из которых — своя «строка чека»,
которую не обязательно упрощать дальше.
Определение.Многочленом называют сумму
одночленов. Одночлены, входящие в эту сумму, называют членами
многочлена.
Например, $a^2+2ab+b^2$ — многочлен,
а $a^2$, $2ab$ и $b^2$ — его члены. Многочленом является и $a^3+b^3$ — его члены
$a^3$ и $b^3$.
Запись со знаком минус
Многочлен $\tfrac13a^2+(-2b)+(-b^2)$ принято ещё записывать так:
$\tfrac13a^2-2b-b^2$. Это выражение тоже называют многочленом, хотя в его записи
участвует знак минус. Дело в том, что, называя такое выражение многочленом,
считают, что это сумма одночленов $\tfrac13a^2$, $-2b$ и $-b^2$ — просто знак
«плюс» перед отрицательным слагаемым принято не писать.
Нажимай на шаги справа, чтобы увидеть, как из записи со знаком минус получаются
настоящие члены многочлена.
1
Шаг 1.
Берём многочлен, в записи которого есть знаки минус.
2
Шаг 2.
Представляем его как сумму — каждый минус превращается в «плюс
отрицательное слагаемое».
3
Шаг 3.
Выписываем члены — каждый вместе со своим знаком.
В силу такого соглашения многочлены $\tfrac13a^2+(-2b)+(-b^2)$ и
$\tfrac13a^2-2b-b^2$ считают равными — для записи равенства
многочленов используют обычный знак равенства:
$$\tfrac13a^2+(-2b)+(-b^2)=\tfrac13a^2-2b-b^2.$$
Подобным образом пишут: $x^3-y^3=x^3+(-y^3)$, $\ (-x^2)+(-y^2)=-x^2-y^2$.
Одночлен и число — тоже многочлены
Одночлен также называют многочленом —
ведь его можно считать суммой из одного-единственного слагаемого. Поэтому
выражения $a^5$, $-2ab$, $\tfrac73$, $-\tfrac59$, $0$ и $a$ можно рассматривать не
только как одночлены, но и как многочлены.
Особое имя есть и у самого простого случая:
число нуль называют нулевым многочленом.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: выписывая члены многочлена вида
$x^3-3x^2+3x-1$, забывают про знак минус и записывают член как «$3x^2$» вместо
«$-3x^2$». Но знак — неотъемлемая часть члена: раз многочлен — это сумма, то
каждое слагаемое надо брать вместе с его собственным знаком. Правильные члены
этого многочлена: $x^3$, $-3x^2$, $3x$, $-1$.
Запомни
🧠 Многочлен — это сумма одночленов, а сами эти одночлены называют членами
многочлена. Знак минус перед членом означает, что на самом деле прибавляется
отрицательный одночлен, поэтому член всегда выписывают вместе с его знаком.
Одночлен и любое число (в том числе $0$) тоже считают многочленом — просто с
одним членом; ноль отдельно называют нулевым многочленом.