11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Чётность, нечётность, периодичность функций

🦋 Из жизниКрылья бабочки — зеркальная симметрия относительно тела: правое крыло повторяет левое. Так же устроен график чётной функции — он симметричен относительно оси $Oy$. А вот пропеллер симметричен относительно центра: если повернуть его на $180°$, он совпадёт сам с собой — так выглядит график нечётной функции, симметричный относительно начала координат.

Чётные и нечётные функции

🔵 Чётная функцияДля любого $x\in X$ число $-x\in X$ и $f(-x)=f(x)$. Примеры: $y=\cos x$, $y=x^2$, $y=\sqrt{1-x^2}$. График симметричен относительно оси $Oy$.
🟣 Нечётная функцияДля любого $x\in X$ число $-x\in X$ и $f(-x)=-f(x)$. Примеры: $y=x$, $y=\sin x$, $y=x^3$, $y=1/x$. График симметричен относительно начала координат.

Ни чётная, ни нечётная — и обе сразу

Большинство функций не являются ни чётными, ни нечётными: например, $y=2x+3$, $y=\sqrt x$, $y=2^x$. А есть и особый случай — функция $f(x)=0$ одновременно и чётная, и нечётная: $f(-x)=0=f(x)$ и $f(-x)=0=-f(x)$ выполняются сразу оба равенства.

Периодичность

🔁 Периодическая функцияСуществует число $T\ne0$, такое что для любого $x\in X$ числа $x+T$ и $x-T$ тоже в $X$, и $f(x+T)=f(x)$. Число $T$ называют периодом. Наименьший положительный период называют главным периодом.

Например, $y=\sin x$ имеет главный период $T=2\pi$, $y=\operatorname{tg}x$ — период $T=\pi$, а функция $y=\{x\}$ (дробная часть) — период $T=1$.

Период при сжатии графика

Если функция $y=f(x)$ имеет период $T$, то функция $y=f(\alpha x)$ имеет период $\tfrac{T}{|\alpha|}$. Например, $y=\sin x$ имеет период $2\pi$, а значит $y=\sin 2x$ — уже период $\pi$: график «сжимается» по горизонтали, и повторение наступает вдвое быстрее.

Попробуй сам

Переключай вкладки между чётной ($y=x^2$), нечётной ($y=x^3$) и периодической ($y=\sin x$) функциями и перетаскивай точку по оси $x$ — вторая точка на $-x$ появляется автоматически и показывает симметрию (или для синуса — сдвиг на период $T$).

Запомни

🧠 Чётность, нечётность, периодичность
  • чётная: $f(-x)=f(x)$, график симметричен относительно оси $Oy$;
  • нечётная: $f(-x)=-f(x)$, график симметричен относительно начала координат;
  • периодическая: $f(x+T)=f(x)$ для некоторого $T\ne0$; наименьший положительный $T$ — главный период;
  • для $y=f(\alpha x)$ период равен $T/|\alpha|$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике