1.2. Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции
🏊Из жизниБассейн имеет глубину от $0$ до $2$ метров — пловец не может оказаться выше уровня воды или глубже дна. Так и функция $y=\sqrt{1-x^2}$ «зажата» между двумя горизонтальными «этажами»: снизу число $0$, сверху число $1$ — ниже нуля и выше единицы функция никогда не поднимается, как бы мы ни выбирали $x$.
Область определения и область изменения
Функция $y=f(x)$ всегда задаётся вместе со своей областью определения — множеством $X$ (обозначают $D(f)$). Если функция задана формулой без явного указания $X$, то по умолчанию берут её полную область определения — все значения $x$, при которых формула даёт действительное число (её называют ещё областью существования).
📊Область изменения (область значений)Множество всех чисел $f(x)$, которые функция принимает при $x\in X$. Обозначают $E(f)$ или $Y$.
Пример: $y=\sqrt{1-x^2}$
Область определения находится из условия $1-x^2\ge0$: это отрезок $X=[-1;1]$. Так как $-1\le x\le1$, то $0\le x^2\le1$, значит $0\le1-x^2\le1$, а значит $0\le\sqrt{1-x^2}\le1$ — область изменения $Y=[0;1]$.
Ограниченность функции
⬇️Ограничена снизуСуществует число $A$, такое что $A\le f(x)$ для всех $x\in X$.
⬆️Ограничена сверхуСуществует число $B$, такое что $f(x)\le B$ для всех $x\in X$.
↕️ОграниченаСуществует число $M > 0$, такое что $|f(x)|\le M$ для всех $x\in X$ — то есть функция ограничена и снизу, и сверху.
Наибольшее и наименьшее значения
Функция принимает в точке $x_0\in X$ наибольшее значение, если $f(x_0)\ge f(x)$ для всех $x\in X$, и наименьшее значение, если $f(x_0)\le f(x)$ для всех $x\in X$. Не всякая ограниченная функция достигает этих значений: например, $y=\log_2 x$ на $(0;+\infty)$ ограничена снизу... нет — она вообще не ограничена ни снизу, ни сверху, а вот $y=2^x$ на $(-\infty;0]$ ограничена снизу числом $0$, но наименьшего значения не достигает — становится сколь угодно близкой к $0$, но никогда его не принимает.
Попробуй сам
На интерактиве справа — график $y=\sqrt{1-x^2}$. Перетаскивай точку по кривой и смотри, как координата $x$ остаётся внутри области определения $[-1;1]$, а значение $y$ — внутри области изменения $[0;1]$, между пунктирными линиями снизу и сверху.
Запомни
🧠Область определения и ограниченность
$D(f)$ — множество допустимых $x$, $E(f)$ — множество всех значений $y=f(x)$;
если область определения не указана явно — берут полную область существования функции;