Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции
Область определения и область изменения
Функция $y=f(x)$ всегда задаётся вместе со своей областью определения — множеством $X$ (обозначают $D(f)$). Если функция задана формулой без явного указания $X$, то по умолчанию берут её полную область определения — все значения $x$, при которых формула даёт действительное число (её называют ещё областью существования).
Пример: $y=\sqrt{1-x^2}$
Область определения находится из условия $1-x^2\ge0$: это отрезок $X=[-1;1]$. Так как $-1\le x\le1$, то $0\le x^2\le1$, значит $0\le1-x^2\le1$, а значит $0\le\sqrt{1-x^2}\le1$ — область изменения $Y=[0;1]$.
Ограниченность функции
Наибольшее и наименьшее значения
Функция принимает в точке $x_0\in X$ наибольшее значение, если $f(x_0)\ge f(x)$ для всех $x\in X$, и наименьшее значение, если $f(x_0)\le f(x)$ для всех $x\in X$. Не всякая ограниченная функция достигает этих значений: например, $y=\log_2 x$ на $(0;+\infty)$ ограничена снизу... нет — она вообще не ограничена ни снизу, ни сверху, а вот $y=2^x$ на $(-\infty;0]$ ограничена снизу числом $0$, но наименьшего значения не достигает — становится сколь угодно близкой к $0$, но никогда его не принимает.
Попробуй сам
На интерактиве — график $y=\sqrt{1-x^2}$. Перетаскивай точку по кривой и смотри, как координата $x$ остаётся внутри области определения $[-1;1]$, а значение $y$ — внутри области изменения $[0;1]$, между пунктирными линиями снизу и сверху.
Запомни
- $D(f)$ — множество допустимых $x$, $E(f)$ — множество всех значений $y=f(x)$;
- если область определения не указана явно — берут полную область существования функции;
- ограничена снизу $A\le f(x)$, сверху $f(x)\le B$, ограничена — $|f(x)|\le M$;
- наибольшее/наименьшее значение достигается в конкретной точке $x_0$ — это сильнее, чем просто ограниченность.