1.4. Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функций
🚴Из жизниВелосипедист едет по холмистой дороге: пока трасса идёт вверх, скорость подъёма растёт — высота возрастает. На спуске высота, наоборот, убывает. А место, где дорога пересекает уровень моря — это и есть нуль функции высоты.
Возрастание и убывание
📈Возрастающая функцияДля любых $x_1,x_2\in X$: из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Пример: $y=x^2$ возрастает на $[0;+\infty)$.
📉Убывающая функцияДля любых $x_1,x_2\in X$: из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$. Пример: $y=x^2$ убывает на $(-\infty;0]$.
Возрастающие и убывающие функции вместе называют строго монотонными. Сумма двух возрастающих на $X$ функций — снова возрастающая функция на $X$ (аналогично для убывающих).
Неубывающая и невозрастающая
Если неравенство нестрогое — $f(x_1)\le f(x_2)$ или $f(x_1)\ge f(x_2)$ — функцию называют неубывающей или невозрастающей соответственно (например, на «полочке» функция может не меняться, но не идти вспять). Все четыре вида — возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие — называют монотонными функциями.
Нули и знакопостоянство
⭕Нуль функцииЧисло $x_0$ из области определения, при котором $f(x_0)=0$. Чтобы найти все нули — решить уравнение $f(x)=0$.
➕➖Промежуток знакопостоянстваПромежуток, на котором функция сохраняет один и тот же знак: либо всюду $f(x)>0$, либо всюду $f(x)<0$.
Пример
Функция $y=x^3-3x$ убывает на $[-1;1]$ (склон вниз между «горкой» и «ямой») и возрастает на $(-\infty;-1]$ и на $[1;+\infty)$. Её нули — точки $x=-\sqrt3,\ 0,\ \sqrt3$, между которыми знак чередуется: $-,+,-,+$.
Попробуй сам
На интерактиве справа — график $y=x^3-3x$. Перетаскивай точку по кривой: цвет фона показывает, возрастает функция (зелёный) или убывает (красный) в этом промежутке, а оранжевые точки на оси — её нули.