11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функций

🚴 Из жизниВелосипедист едет по холмистой дороге: пока трасса идёт вверх, скорость подъёма растёт — высота возрастает. На спуске высота, наоборот, убывает. А место, где дорога пересекает уровень моря — это и есть нуль функции высоты.

Возрастание и убывание

📈 Возрастающая функцияДля любых $x_1,x_2\in X$: из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Пример: $y=x^2$ возрастает на $[0;+\infty)$.
📉 Убывающая функцияДля любых $x_1,x_2\in X$: из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$. Пример: $y=x^2$ убывает на $(-\infty;0]$.

Возрастающие и убывающие функции вместе называют строго монотонными. Сумма двух возрастающих на $X$ функций — снова возрастающая функция на $X$ (аналогично для убывающих).

Неубывающая и невозрастающая

Если неравенство нестрогое — $f(x_1)\le f(x_2)$ или $f(x_1)\ge f(x_2)$ — функцию называют неубывающей или невозрастающей соответственно (например, на «полочке» функция может не меняться, но не идти вспять). Все четыре вида — возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие — называют монотонными функциями.

Нули и знакопостоянство

⭕ Нуль функцииЧисло $x_0$ из области определения, при котором $f(x_0)=0$. Чтобы найти все нули — решить уравнение $f(x)=0$.
➕➖ Промежуток знакопостоянстваПромежуток, на котором функция сохраняет один и тот же знак: либо всюду $f(x)>0$, либо всюду $f(x)<0$.

Пример

Функция $y=x^3-3x$ убывает на $[-1;1]$ (склон вниз между «горкой» и «ямой») и возрастает на $(-\infty;-1]$ и на $[1;+\infty)$. Её нули — точки $x=-\sqrt3,\ 0,\ \sqrt3$, между которыми знак чередуется: $-,+,-,+$.

Попробуй сам

На интерактиве — график $y=x^3-3x$. Перетаскивай точку по кривой: цвет фона показывает, возрастает функция (зелёный) или убывает (красный) в этом промежутке, а оранжевые точки на оси — её нули.

Запомни

🧠 Монотонность и нули
  • возрастает: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$; убывает — неравенство меняется на противоположное;
  • неубывающая/невозрастающая — нестрогие неравенства, значение может оставаться прежним;
  • нуль функции — корень уравнения $f(x)=0$;
  • промежуток знакопостоянства — где функция не меняет знак.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике