11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Исследование функций и построение их графиков элементарными методами

🕵️ Из жизниПрежде чем купить квартиру, узнают о ней всё: площадь, этаж, вид из окна, шумность района. Так и с функцией — прежде чем рисовать график, полезно «допросить» её по одному и тому же списку вопросов: область определения, ограниченность, чётность, монотонность и так далее. Такой полный «допрос» функции называют её исследованием.

План исследования функции

Исследовать функцию — значит ответить на восемь вопросов, изученных в пп. 1.2–1.4:

  1. область определения;
  2. область изменения;
  3. ограниченность;
  4. наибольшее/наименьшее значение;
  5. чётность/нечётность;
  6. периодичность;
  7. промежутки возрастания/убывания;
  8. промежутки знакопостоянства.
📈 График функцииМножество точек $A(x;y)$ плоскости $xOy$, координаты которых удовлетворяют $y=f(x)$. Функцию называют непрерывной на промежутке, если её график там можно нарисовать одной линией, не отрывая карандаша от бумаги.

Разбор: исследуем $y=\dfrac{6}{x^2+2}$

1 Определена при любых $x$ (знаменатель $x^2+2 > 0$ всегда): $D(f)=(-\infty;+\infty)$.
2 Функция чётная: $\dfrac{6}{(-x)^2+2}=\dfrac{6}{x^2+2}$ — график симметричен относительно $Oy$.
3 Всюду положительна, ограничена снизу числом $0$, сверху числом $3$.
4 Наибольшее значение $3$ достигается в точке $x=0$; наименьшего значения нет — функция лишь приближается к $0$.
5 Область изменения — промежуток $E(f)=(0;3]$.
6 На $[0;+\infty)$ функция убывает (чем больше $x^2$, тем меньше дробь); на $(-\infty;0]$ — возрастает, по симметрии.
7 Нулей нет, но есть точка пересечения с осью $Oy$: $(0;3)$.

Попробуй сам

На интерактиве — сам график $y=\dfrac{6}{x^2+2}$. Перетаскивай точку по кривой и проверяй: значение $y$ всегда остаётся между пунктирными границами $0$ и $3$, а график симметричен относительно оси $Oy$.

Запомни

🧠 Исследование функции
  • исследовать функцию — пройти по восьми пунктам: область определения, изменения, ограниченность, наиб./наим. значение, чётность, периодичность, монотонность, знакопостоянство;
  • график — множество точек $(x;f(x))$; непрерывная функция рисуется одной линией без отрыва;
  • свойства функции напрямую подсказывают форму графика — не нужно вслепую вычислять сотни точек.