🕵️
Из жизниПрежде чем купить квартиру, узнают о ней всё: площадь, этаж, вид из окна, шумность района. Так и с функцией — прежде чем рисовать график, полезно «допросить» её по одному и тому же списку вопросов: область определения, ограниченность, чётность, монотонность и так далее. Такой полный «допрос» функции называют её исследованием.
План исследования функции
Исследовать функцию — значит ответить на восемь вопросов, изученных в пп. 1.2–1.4:
- область определения;
- область изменения;
- ограниченность;
- наибольшее/наименьшее значение;
- чётность/нечётность;
- периодичность;
- промежутки возрастания/убывания;
- промежутки знакопостоянства.
📈
График функцииМножество точек $A(x;y)$ плоскости $xOy$, координаты которых удовлетворяют $y=f(x)$. Функцию называют непрерывной на промежутке, если её график там можно нарисовать одной линией, не отрывая карандаша от бумаги.
Разбор: исследуем $y=\dfrac{6}{x^2+2}$
1
Определена при любых $x$ (знаменатель $x^2+2 > 0$ всегда): $D(f)=(-\infty;+\infty)$.
2
Функция чётная: $\dfrac{6}{(-x)^2+2}=\dfrac{6}{x^2+2}$ — график симметричен относительно $Oy$.
3
Всюду положительна, ограничена снизу числом $0$, сверху числом $3$.
4
Наибольшее значение $3$ достигается в точке $x=0$; наименьшего значения нет — функция лишь приближается к $0$.
5
Область изменения — промежуток $E(f)=(0;3]$.
6
На $[0;+\infty)$ функция убывает (чем больше $x^2$, тем меньше дробь); на $(-\infty;0]$ — возрастает, по симметрии.
7
Нулей нет, но есть точка пересечения с осью $Oy$: $(0;3)$.
Попробуй сам
На интерактиве справа — сам график $y=\dfrac{6}{x^2+2}$. Перетаскивай точку по кривой и проверяй: значение $y$ всегда остаётся между пунктирными границами $0$ и $3$, а график симметричен относительно оси $Oy$.