11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Основные способы преобразования графиков

📷 Из жизниВ графическом редакторе с фотографией можно сделать четыре вещи: сдвинуть её, отразить зеркально, растянуть или сжать. С графиком функции — то же самое: зная график $y=f(x)$, не нужно заново вычислять точки для $y=2f(x-3)+1$ — это тот же самый график, просто «отредактированный» по понятным правилам.

Симметрия и сдвиг

🪞 Отражения$y=-f(x)$ — отражение относительно оси $Ox$. $y=f(-x)$ — отражение относительно оси $Oy$.
↔️ Сдвиг (параллельный перенос)$y=f(x-a)$ — сдвиг вдоль $Ox$ на $a$ (вправо при $a > 0$). $y=f(x)+B$ — сдвиг вдоль $Oy$ на $B$ (вверх при $B > 0$).

Растяжение и сжатие

↕️ Вдоль $Oy$$y=Bf(x)$, $B > 0$: растяжение в $B$ раз при $B > 1$, сжатие в $1/B$ раз при $0 < B < 1$.
↔️ Вдоль $Ox$$y=f(kx)$, $k > 0$: сжатие к оси $Oy$ в $k$ раз при $k > 1$, растяжение в $1/k$ раз при $0 < k < 1$.

Общая формула

Все преобразования объединяются в одну цепочку — график функции $y=Af(k(x-a))+B$ строится по графику $y=f(x)$ последовательно:

$$y=f(x)\to y=f(kx)\to y=Af(kx)\to y=Af(k(x-a))\to y=Af(k(x-a))+B$$

Пример: $y=\sin(2x-\tfrac{\pi}{3})+1$ строится так: $\sin x\to\sin2x\to\sin(2(x-\tfrac{\pi}{6}))\to\sin(2x-\tfrac{\pi}{3})+1$.

Симметрия относительно прямой $y=x$

Точки $A(x_0;y_0)$ и $B(y_0;x_0)$ всегда симметричны относительно прямой $y=x$ (это доказывается через равнобедренный треугольник $OAB$). Поэтому график функции $x=f(y)$ получается из графика $y=f(x)$ отражением относительно прямой $y=x$ — просто «меняем местами» роли $x$ и $y$.

Попробуй сам

На интерактиве — базовый график $y=f(x)$ (серым пунктиром) и его преобразование $y=Af(k(x-a))+B$ (цветной кривой). Двигай ползунки $A$, $B$, $k$, $a$ и наблюдай, как каждый из них меняет форму и положение графика.

Запомни

🧠 Преобразования графиков
  • $-f(x)$ — отражение от $Ox$; $f(-x)$ — отражение от $Oy$;
  • $f(x-a)$ — сдвиг по $Ox$; $f(x)+B$ — сдвиг по $Oy$;
  • $Bf(x)$ — растяжение/сжатие по $Oy$; $f(kx)$ — сжатие/растяжение по $Ox$;
  • $y=Af(k(x-a))+B$ — все преобразования сразу, применяются по порядку;
  • $x=f(y)$ — отражение графика $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике