🪁Из жизниПредставь воздушного змея, который случайно нырнул под воду — та часть верёвки, что ниже поверхности, «отражается» зеркально вверх, будто вода — это ось $Ox$. Именно так строится график $y=|f(x)|$: всё, что было ниже оси, переворачивается наверх, а то, что уже было сверху, остаётся на месте.
График $y=|f(x)|$
⬆️Правило построенияСохрани ту часть графика $y=f(x)$, что лежит на оси $Ox$ или выше неё. Ту часть, что ниже оси $Ox$, отрази симметрично вверх. У графика $y=|f(x)|$ никогда не бывает точек ниже оси $Ox$.
Так строятся, например, графики $y=|x^2-1|$, $y=|\log_2 x|$, $y=|\sin x|$.
График $y=f(|x|)$
↔️Правило построенияСохрани только ту часть графика $y=f(x)$, что лежит на оси $Oy$ или справа от неё (при $x\ge0$), и отрази её симметрично относительно оси $Oy$. Левую часть исходного графика полностью отбрасываем.
Функция $y=f(|x|)$ всегда чётная: $f(|-x|)=f(|x|)$ для любого $x$ из области определения.
Комбинированный пример
Чтобы построить $y=\left|\dfrac{2}{x-2}+1\right|$: сначала строим гиперболу $\varphi(x)=\dfrac{2}{x-2}+1$ (сдвиг $y=\tfrac2x$ на $2$ вправо и $1$ вверх), затем часть графика ниже оси $Ox$ отражаем вверх. А для $y=\dfrac{2}{|x|-2}+1$ — сначала строим ту же гиперболу $\varphi(x)$, оставляем правую половину ($x\ge0$) и отражаем её относительно оси $Oy$.
Попробуй сам
На интерактиве справа переключай режим между $y=|f(x)|$ и $y=f(|x|)$ — серым пунктиром показан исходный график, цветным — результат наложения модуля. Смотри, какая часть отражается и куда.
Запомни
🧠Графики с модулями
$y=|f(x)|$ — отрицательная часть графика отражается вверх относительно $Ox$, положительная остаётся без изменений;
$y=f(|x|)$ — левая часть графика ($x < 0$) выбрасывается, правая ($x\ge0$) отражается относительно $Oy$;
$y=f(|x|)$ всегда чётная функция;
сложные примеры с модулями строятся комбинацией этих двух правил, шаг за шагом.