Алгебра 7 класс: Свойства многочленов

Зачем нужны свойства многочленов

          💡 Из жизни: представь список покупок: «$2$ батона, $3$ пачки
          молока, $2$ батона ещё» — глаз сразу тянется объединить одинаковые позиции: «$4$
          батона, $3$ пачки молока». Список от этого не изменился по смыслу, просто стал
          компактнее. С многочленами происходит то же самое — их можно упрощать, не меняя
          того, что они выражают, если действовать по строгим правилам.
        

Многочлены преобразуют по определённым правилам, которые называют свойствами многочленов. Их всего три, и каждое из них позволяет заменить один многочлен на другой, равный ему, но более удобный.

Свойство 1 — порядок членов не важен

Свойство 1. Члены многочлена можно менять местами. Если один многочлен отличается от другого лишь порядком членов, такие два многочлена считают равными.

Например: $2a^2b+3ab^2=3ab^2+2a^2b$; $\ a^2-b^2=-b^2+a^2$; $\ x^2-x+1=1-x+x^2=-x+x^2+1$.

Свойство 2 — прибавление нуля

Свойство 2. Прибавление к многочлену нуля (нулевого многочлена) не изменяет его. Если один из многочленов получен из другого прибавлением числа «нуль», такие два многочлена считают равными.

Например: $2a-3b+0-c=2a-3b-c$; $\ a^4+(-a^2)+0=a^4+(-a^2)$; $\ 0+abc=abc$.

Свойство 3 — приведение подобных членов

Свойство 3. В многочлене можно приводить подобные члены. Если один из многочленов получен из другого заменой подобных членов их суммой, такие два многочлена считают равными.

Нажимай на шаги, чтобы увидеть, как из многочлена $a^2+ab-ab+b^2$ получается более простой многочлен.

1

Шаг 1. Находим в многочлене подобные члены — $ab$ и $-ab$.

2

Шаг 2. Складываем их: $ab+(-ab)=0\cdot ab=0$.

3

Шаг 3. Получаем упрощённый многочлен без лишних слагаемых.

$$a^2+ab-ab+b^2=a^2+1{\cdot}ab+(-1){\cdot}ab+b^2=a^2+(1+(-1))ab+b^2=a^2+b^2.$$ Более сложный пример — с тремя парами подобных членов: $$a^3-2a^2b+2ab^2-a^2b+ab^2-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Многочлены можно упрощать, пользуясь всеми тремя свойствами сразу: сначала переставить члены так, чтобы подобные оказались рядом (свойство 1), а затем сложить их (свойство 3).

Частая ошибка

⚠️ Частая ошибка: складывают члены, которые лишь похожи внешне, но подобными не являются. Например, $a^2b$ и $ab^2$ — это разные одночлены (буквы стоят в разных степенях), и складывать их в один член нельзя: $a^2b+ab^2$ так и остаётся суммой двух членов, это не равно $2a^3b^2$ или подобному выражению. Приводить можно только те члены, которые отличаются исключительно числовым множителем.

Запомни

🧠 У многочленов есть три свойства: 1) члены можно менять местами; 2) прибавление нуля ничего не меняет; 3) подобные члены можно складывать в один. Все три свойства дают равные многочлены — ни одно из них не меняет значения выражения, только его запись.