11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Односторонние пределы

🚪 Из жизниПредставь турникет в метро: если подходить к нему справа, он открывается вправо, если слева — влево. У функции тоже бывает «поведение справа» и «поведение слева» от точки — и они не обязаны совпадать. Например, у $y=\dfrac1x$ при подходе к нулю справа значения улетают в $+\infty$, а при подходе слева — в $-\infty$: это два разных односторонних предела.

Правый и левый пределы

➡️ Правый предел$f$ определена правее $a$. Если при $x\to a$, оставаясь больше $a$, значения $f(x)\to A$, пишут $\displaystyle\lim_{x\to a,\,x > a}f(x)=A$.
⬅️ Левый предел$f$ определена левее $a$. Если при $x\to a$, оставаясь меньше $a$, значения $f(x)\to B$, пишут $\displaystyle\lim_{x\to a,\,x < a}f(x)=B$.

Пределы могут не совпадать

У функции $y=\dfrac1x$ правый предел в точке $0$ равен $+\infty$, а левый — $-\infty$. У функции «сигнум» (равна $1$ при $x > 0$, $0$ при $x=0$, $-1$ при $x < 0$) правый предел в нуле равен $1$, левый равен $-1$. Такое расхождение — обычное дело для функций с «разрывом» или «скачком».

Когда пределы совпадают

✅ Существование предела в точкеЕсли левый и правый пределы функции в точке $a$ существуют и оба равны $A$, то говорят, что функция имеет предел $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A$ в этой точке.

Первый замечательный предел: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ — оба односторонних предела равны $1$ (доказывается через неравенство $\cos\alpha < \tfrac{\sin\alpha}{\alpha} < 1$ для малых $\alpha > 0$).

Второй замечательный предел: $\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e\approx2{,}71828\ldots$

Попробуй сам

На интерактиве — две вкладки. В первой $y=\dfrac1x$: подводи точку к нулю то справа, то слева — увидишь, что она улетает в разные бесконечности. Во второй $y=\dfrac{\sin x}{x}$ — оба односторонних предела совпадают и равны $1$ (это первый замечательный предел).

Запомни

🧠 Односторонние пределы
  • правый предел — поведение $f(x)$ при подходе к $a$ справа; левый — слева;
  • предел в точке существует тогда и только тогда, когда правый и левый пределы совпадают;
  • $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ — первый замечательный предел;
  • $\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$ — второй замечательный предел.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике