Если $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to a}\varphi(x)$ — действительные числа, то верно:
$$\lim_{x\to a}(f(x)+\varphi(x))=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}\varphi(x)$$
$$\lim_{x\to a}(f(x)-\varphi(x))=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}\varphi(x)$$
$$\lim_{x\to a}(f(x)\cdot\varphi(x))=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}\varphi(x)$$
$$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{\varphi(x)}=\dfrac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}\varphi(x)}\quad\left(\lim_{x\to a}\varphi(x)\ne0\right)$$
Здесь $a$ — число, $+\infty$, $-\infty$ или $\infty$. Если $f(x)=C$ — постоянная, то $\lim\limits_{x\to a}C=C$, а из свойства произведения следует $\lim\limits_{x\to a}(C\varphi(x))=C\lim\limits_{x\to a}\varphi(x)$.
Если $a$ — число, а числитель и знаменатель дроби стремятся к конечным пределам, причём предел знаменателя не равен нулю, — предел можно найти прямой подстановкой $a$ вместо $x$:
$$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+4}{x+2}=\dfrac{2^2+4}{2+2}=2$$
Вычислим $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$. Числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю — подстановка не работает напрямую. Смотри интерактив справа: раскладываем числитель на множители и сокращаем дробь на $(x-2)$, ведь при $x\to2$ сама точка $x=2$ в определение предела не входит.