11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Понятие предела функции

          🎯
          Из жизниКогда самолёт заходит на посадку, его высота над полосой становится всё меньше и меньше, приближаясь к нулю — но мы говорим не про конкретный момент, а про поведение высоты по мере приближения. Так же устроен предел функции: не важно, что происходит ровно в точке, важно, к какому числу стремится $f(x)$, когда $x$ подходит к ней всё ближе.
        

Предел при $x\to+\infty$

Функция $y=\dfrac{1}{x^3}$ при неограниченном возрастании $x$ (см. таблицу: $x=1,2,4,\ldots,10^{10}$) даёт значения, стремящиеся к $0$. Записывают: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^3}=0$.

➡️ Предел функции при $x\to+\infty$Число (или $\pm\infty$) $A$ называют пределом $f(x)$ при $x\to+\infty$, если при неограниченном возрастании $x$ значения $f(x)$ стремятся к $A$. Записывают $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$.

Предел в точке

📍 Предел функции в точке $a$Пусть $f$ определена в окрестности точки $a$ (может быть, кроме самой $a$). Число $A$ называют пределом $f(x)$ при $x\to a$, если при приближении $x$ к $a$ значения $f(x)$ стремятся к $A$: $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A$.

Например, $\displaystyle\lim_{x\to2}x^2=4$ (просто подставили значение), а $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty$ — функция вообще не определена в самой точке $0$, но её поведение рядом с ней вполне предсказуемо.

Обозначения $\infty$ и $\infty$ без знака

Пишут $x\to\infty$ (без знака), если $|x|\to+\infty$ — то есть $x$ уходит либо в $+\infty$, либо в $-\infty$, не важно куда именно. Аналогично $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ означает $\lim_{x\to a}|f(x)|=+\infty$. Например: $\lim_{x\to\infty}x^5=\infty$, $\lim_{x\to2}\dfrac{1}{|x-2|}=\infty$.

Попробуй сам

На интерактиве — две вкладки. В первой $x$ неограниченно растёт, а $y=\dfrac{1}{x-1}+2$ стремится к горизонтальной асимптоте $y=2$. Во второй $x$ приближается к точке $a=2$, а $y=\dfrac{1}{(x-2)^2}$ уходит в $+\infty$. Двигай ползунок и смотри, как меняется значение предела.

Запомни

🧠 Предел функции

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ — куда стремится $f(x)$, когда $x$ неограниченно растёт;
$\lim_{x\to a}f(x)=A$ — куда стремится $f(x)$, когда $x$ подходит к $a$ (сама точка $a$ не важна);
предел может быть числом, $+\infty$, $-\infty$ или просто $\infty$ (без знака — модуль растёт);
$x\to\infty$ означает $|x|\to+\infty$ — направление роста не уточняется.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике